并查集速讲

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简介

并查集是一种很简单的数据结构。
它的作用是快速的维护查找一个集合。
每次我们用p[x]表示当前点的父节点。
x表示当前点的树根。
这样我们就可以查找访问集合了。

并查集的思路

我们首先画出一颗树。
接着我们想一下如何找到这个点所在的集合是什么。
其实非常简单，我们可以不停的判断：

if(p[x] != x)

如果这样就说明这个点不是树根，那就继续往上走。

find(p[x]);

并查集的优化——路径压缩

如果我们这样，一个点历经千辛万苦终于找到了它的根节点。
那如果我们在查找这个点它就又需要重新千辛万苦的走一遍。
玩游戏的人肯定问了：凭啥不开个传送点啊。
那我们就可以实施所谓的升维大法（来源于“降维打击”），
把所有走过的点直接指向根节点。
这就叫做：如果你费劲千辛万苦，走到的是根节点，
如果你开VIP传送过去，到的还是根节点。
那这个VIP叫神马呢？
请看小标题：路径压缩

接下来就是所谓的并查集版“西游记”。
费劲千辛万苦，打败了魑魅魍魉，最后找到了根节点（不是真经！）。

int find(int x)
{
    if(p[x] != x) p[x] = find(p[x]);//路径压缩DLCVIP
    return p[x];
}

并查集的初始化

其实就是让每个点指向自己的自己吗。
让每个点单独独立出来。
那我们遍历一遍整个数组就好了。

for(int i = 1; i <= n; i ++)
{   
    p[i] = i;
}

我们来康康题。

1. 合并集合
2. 连通块中点的数量
3. 银河英雄传说

1、合并集合

题目：
一共有n个数，编号是1~n，最开始每个数各自在一个集合中。

现在要进行m个操作，操作共有两种：

“M a b”，将编号为a和b的两个数所在的集合合并，如果两个数已经在同一个集合中，则忽略这个操作；
“Q a b”，询问编号为a和b的两个数是否在同一个集合中；
输入格式
第一行输入整数n和m。

接下来m行，每行包含一个操作指令，指令为“M a b”或“Q a b”中的一种。

输出格式
对于每个询问指令”Q a b”，都要输出一个结果，如果a和b在同一集合内，则输出“Yes”，否则输出“No”。

每个结果占一行。

数据范围

1≤n,m≤105

输入样例：

4 5
M 1 2
M 3 4
Q 1 2
Q 1 3
Q 3 4

输出样例：

Yes
No
Yes

我们想一下如何合并两个集合（见下）
我们可以在两个集合里建一条边，让其中一个集合的根节点指向另一个集合的根节点。

p[find(a)] = find(b);

那查询就 再简单不过了对吧。

if(find(a) == find(b)) puts("Yes");
else puts("No");

完整代码：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int n, m, p[N];
int find(int x)
{
    if(p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i ++) p[i] = i;
    while(m --)
    {
        int a, b;
        char op;
        cin >> op;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        if(op == 'M') p[find(a)] = find(b);
        else 
        {
            if(find(a) == find(b)) puts("Yes");
            else cout << "No" << endl;
        }
    }
    return 0;
}

2、连通块中点的数量

题目：
给定一个包含n个点（编号为1~n）的无向图，初始时图中没有边。

现在要进行m个操作，操作共有三种：

“C a b”，在点a和点b之间连一条边，a和b可能相等；
“Q1 a b”，询问点a和点b是否在同一个连通块中，a和b可能相等；
“Q2 a”，询问点a所在连通块中点的数量；
输入格式
第一行输入整数n和m。

接下来m行，每行包含一个操作指令，指令为“C a b”，“Q1 a b”或“Q2 a”中的一种。

输出格式
对于每个询问指令”Q1 a b”，如果a和b在同一个连通块中，则输出“Yes”，否则输出“No”。

对于每个询问指令“Q2 a”，输出一个整数表示点a所在连通块中点的数量

每个结果占一行。

数据范围

1≤n,m≤105

输入样例：

5 5
C 1 2
Q1 1 2
Q2 1
C 2 5
Q2 5

输出样例：

Yes
2
3

这道题需要单独定义一个cnt数组来存点的数量。
先说下弱的不行的Q1操作和Q2操作
Q1：同上道题。

if(find(a) == find(b)) puts("Yes");
else puts("No");

Q2：直接输出就行了。

cout << cnt(find(a)) << endl;

然后是建立边的操作。
我们建立一条边要做两件事：
1、建立边，要把边建立出来。

p[find(a)] = find(b);

2、把a连通块的点数加进b连通块

cnt[find(b)] += cnt[find(a)];

本题完整代码：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int n, m, p[N], cnt[N];
int find(int x)
{
    if(p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}
int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        p[i] = i;
        cnt[i] = 1;
    }
    while(m --)
    {
        int a, b;
        string op;
        cin >> op;
        if(op == "C")
        {
            cin >> a >> b;
            int pa = find(a), pb = find(b);
            if(pa != pb)
            {
                p[pa] = pb;
                cnt[pb] += cnt[pa];
            }
        }
        else if(op == "Q1") 
        {
            cin >> a >> b;
            if(find(a) == find(b)) puts("Yes");
            else puts("No");
        }
        else{
            cin >> a;
            cout << cnt[find(a)] << endl;
        }
    }
    return 0;
}

好作业大家看看就行了。
有点难，有时间下节课讲解哦！
作业上面其实已经说过了，再说一遍。
算法竞赛进阶指南0x40数据结构进阶并查集第2题：银河英雄传说（链接上面有）

今天的分享就到这里了。

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bye~