线性空间

线性空间 是一个关于以下两个运算封闭的向量集合。

1. 向量加法 $a+b$，其中 $a,b$ 均为向量
2. 标量乘法 $k \* a$，也称数乘运算，其中 $a$ 是向量，$k$ 是常数（标量）

给定若干个向量 $a_1,a_2,…,a_k$，若向量 $b$ 能由 $a_1,a_2,…,a_k$ 经过向量加法和标量乘法运算得出，则称向量 $b$ 能被向量 $a_1,a_2,…,a_k$ 表出。而 $a_1,a_2,…,a_k$ 能表出的所有向量构成一个线性空间，$a_1,a_2,…,a_k$ 被称为这个线性空间的生成子集。

任选线性空间中的若干个向量，如果其中存在一个向量能被其他向量表出，则称这些向量线性相关，否则称这些向量线性无关。

线性无关的生成子集被称为线性空间的基底，简称基。基的另一种定义是线性空间的极大线性无关子集。一个线性空间的所有基包含的向量个数相等，这个数被称为线性空间的维数。

例如，平面直角坐标系中的所有向量构成一个二维线性空间，它的一个基就是单位向量集合 $\lbrace (0, 1) (1, 0) \rbrace$。平面直角坐标系的 $x$ 轴上的所有向量构成一个一维线性空间，它的一个基就是 $\lbrace (1,0) \rbrace$。

对于一个 $n$ 行 $m$ 列的矩阵，我们可以把它的每一行看作一个长度为 $m$ 的向量，称为 “行向量”。矩阵 $n$ 个行向量能够表出的所有向量构成一个线性空间，这个线性空间的维数被称为矩阵的 “行秩”。同理，我们可以定义列向量和列秩。实际上，矩阵的行秩一定等于列秩，它们都被称为矩阵的秩。

把这个 $n \* m$ 的矩阵看作 “系数矩阵” 进行高斯消元（增广矩阵的最后一列全看作 $0$），得到一个简化阶梯形矩阵。而这个简化阶梯形矩阵的所有非零向量一定线性无关，因为初等行变换就是行向量之间进行的向量加法和标量乘法运算，所以高斯消元不会改变矩阵的行向量表出的线性空间。因此，简化阶梯形矩阵的所有非零向量就是该线性空间的一个基，非零行向量的个数就是矩阵的秩。

线性空间的概念还可以进一步推广，不仅限于向量、向量加法和标量乘法。例如 “异或空间” 就是一个很常见的形式，异或空间是一个关于异或运算封闭的非负整数集合。可以在异或空间中用类似的方法定义 “表出” 、“线性无关”、 “基底” 等。

若整数 $b$ 能由整数 $a_1,a_2,…,a_k$ 经异或运算得出，则称 $b$ 能被 $a_1,a_2,…,a_k$ 表出。$a_1,a_2,…,a_k$ 能表出的所有整数构成一个异或空间，$a_1,a_2,…,a_k$ 被称为这个异或空间的生成子集。

任选出异或空间中的若干个整数，如果其中存在一个整数能被其他整数表出，则称这些整数线性相关，否则称这些整数线性无关。异或空间的基就是异或空间中一个线性无关的生成子集，或者定义为异或空间的极大线性无关子集。

给定 $n$ 个 $0 \sim 2^m-1$ 之间的整数 $a_1,a_2,…,a_n$，如何求出这 $n$ 个整数表出的异或空间的基呢？我们可以把它们看作 $m$ 位二进制数，写成一个 $n$ 行 $m$ 列的 $01$ 矩阵，矩阵中第 $i$ 行从左到右依次是 $a_i$ 的第 $m-1,m-2,…,1,0$ 位（二进制的最低位称为第 $0$ 位），把矩阵作为系数矩阵，用高斯消元求解异或方程组的方法，将其转化为简化阶梯形矩阵，简化阶梯形矩阵的每一行也是一个整数，所有非零整数一起构成异或空间的基。