LG P5662 [CSP-J2019] 纪念品

又是一道没想出来转移的背包题

题目描述

小伟突然获得一种超能力，他知道未来 $T$ 天 $N$ 种纪念品每天的价格。某个纪念品的价格是指购买一个该纪念品所需的金币数量，以及卖出一个该纪念品换回的金币数量。

每天，小伟可以进行以下两种交易无限次：

1. 任选一个纪念品，若手上有足够金币，以当日价格购买该纪念品；
2. 卖出持有的任意一个纪念品，以当日价格换回金币。

每天卖出纪念品换回的金币可以立即用于购买纪念品，当日购买的纪念品也可以当日卖出换回金币。当然，一直持有纪念品也是可以的。

$T$ 天之后，小伟的超能力消失。因此他一定会在第 $T$ 天卖出所有纪念品换回金币。

小伟现在有 $M$ 枚金币，他想要在超能力消失后拥有尽可能多的金币。

输入格式

第一行包含三个正整数 $T, N, M$，相邻两数之间以一个空格分开，分别代表未来天数 $T$，纪念品数量 $N$，小伟现在拥有的金币数量 $M$。

接下来 $T$ 行，每行包含 $N$ 个正整数，相邻两数之间以一个空格分隔。第 $i$ 行的 $N$ 个正整数分别为 $P_{i,1}$，$P_{i,2}$,……,$P_{i,N}$，其中 $P_{i,j}$ 表示第 $i$ 天第 $j$ 种纪念品的价格。

输出格式

输出仅一行，包含一个正整数，表示小伟在超能力消失后最多能拥有的金币数量。

样例 #1

样例输入 #1

6 1 100
50
20
25
20
25
50

样例输出 #1

305

样例 #2

样例输入 #2

3 3 100
10 20 15
15 17 13
15 25 16

样例输出 #2

217

提示

【输入输出样例 1 说明】

最佳策略是：

第二天花光所有 100 枚金币买入 5 个纪念品 1；

第三天卖出 5 个纪念品 1，获得金币 125 枚；

第四天买入 6 个纪念品 1，剩余 5 枚金币；

第六天必须卖出所有纪念品换回 300 枚金币，第四天剩余 5 枚金币,共 305 枚金币。

超能力消失后，小伟最多拥有 305 枚金币。

【输入输出样例 2 说明】

最佳策略是：

第一天花光所有金币买入 10 个纪念品 1；

第二天卖出全部纪念品 1 得到 150 枚金币并买入 8 个纪念品 2 和 1 个纪念品 3，剩余 1 枚金币；

第三天必须卖出所有纪念品换回216 枚金币，第二天剩余1枚金币，共 217 枚金币。

超能力消失后，小伟最多拥有 217 枚金币。

【数据规模与约定】

对于 $10\%$ 的数据，$T = 1$。

对于 $30\%$ 的数据，$T \leq 4, N \leq 4, M \leq 100$，所有价格 $10 \leq P_{i,j} \leq 100$。

另有 $15\%$ 的数据，$T \leq 100, N = 1$。

另有 $15\%$ 的数据，$T = 2, N \leq 100$。

对于 $100\%$ 的数据，$T \leq 100, N \leq 100, M \leq 10^3$，所有价格 $1 \leq P_{i,j} \leq 10^4$，数据保证任意时刻，小明手上的金币数不可能超过 $10^4$。

分析 ： 题目给出 “每天卖出纪念品换回的金币可以立即用于购买纪念品，当日购买的纪念品也可以当日卖出换回金币。”所以可以将题目今日买隔日买的情况转化成今日买明日卖明日买后日卖....的情况，所以对于每一天我们只需要找出每一天能得到的最大收益，再用得到的最大收益当作手里的钱继续算最终可以得到最优解，因为每个纪念品可以买多个，所以对于第 $i$ 天其实就是做一次完全背包，得到手头 $m$ 元可以转到的最大收益 $f[i][n][m]$ 。

设状态$f[i][j][k]$ 为第 $i$ 天前 $j$ 个纪念品手头有 $k$ 元钱能赚得的最大收益，所以有
$$f[i][j][k] = max(f[i][j - 1][k],f[i][j][k - price[i][j]] + price[i + 1][j] - price[i][j] );$$
即 在第 $i$ 天，考虑前 $j - 1$ 个纪念品，手头有 $k$ 元的最大收益 和 用 $price[i][j]$ 元买入一个 $j$ 纪念品，得到 $price[i + 1][j]$ 收益 加上 用剩下的 $k - price[i][j]$ 元考虑 前 $j$ 个物品得到的收益 二者中取一个最大值。

直接用 $f[i][j][k]$ 来转移会爆空间，所以考虑降维，由于每一层都是独立的完全背包，所以可以将 $i$ 所在维 减去，降成二维，而对于完全背包，我们可以通过修改枚举顺序减去 $j$ 所在维，降成一维。

由于我们是对于每一天都做一次完全背包，每一天除了手头的钱与上一天有联系以外，前几天的信息都不具有后效性，所以可以DP，而对于每一天我们都是做一个独立的完全背包，所以在一开始第 $i$ 层信息都要初始化为 $0$。

每天最终推得的$f[m]$ 是手头 $m$ 元的最大收益，所以在迭代至下一天时，采取 $m = m + f[m]$ ，更新手头钱数。