代码源自常用代码模板4——数学知识
试除法判定质数
bool is_prime(int x)
{
if (x < 2) return false;
for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
if (x % i == 0)
return false;
return true;
}
注意点：i <= x / i代替i * i <= x防止爆int。
试除法分解质因数
void divide(int x)
{
for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
if (x % i == 0)
{
int s = 0;
while (x % i == 0) x /= i, s ++ ;
cout << i << ' ' << s << endl;
}
if (x > 1) cout << x << ' ' << 1 << endl;
cout << endl;
}
注意点：最多只有一个大于sqrt(x)的质因数，故利用if (x > 1)做一次判断来优化计算。
筛法求素数
埃氏筛法
int primes[N], cnt; // primes[]存储所有素数
bool st[N]; // st[x]存储x是否被筛掉
void get_primes(int n)
{
for (int i = 2; i <= n; i ++ )
{
if (st[i]) continue;
primes[cnt ++ ] = i;
for (int j = i + i; j <= n; j += i)
st[j] = true;
}
}
思想：筛掉素数的倍数，存在重复筛的问题。
线性筛法
int primes[N], cnt; // primes[]存储所有素数
bool st[N]; // st[x]存储x是否被筛掉
void get_primes(int n)
{
for (int i = 2; i <= n; i ++ )
{
if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;
for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
{
st[primes[j] * i] = true;
if (i % primes[j] == 0) break;
}
}
}
思想：保证primes[j]作为primes[j] * i的最小质因数，永远以最小质因数的倍数筛掉合数，无重复筛选。
试除法求所有约数
vector<int> get_divisors(int x)
{
vector<int> res;
for (int i = 1; i <= x / i; i ++ )
if (x % i == 0)
{
res.push_back(i);
if (i != x / i) res.push_back(x / i);
}
sort(res.begin(), res.end());
return res;
}
约数个数和约数之和
如果 N = p1^c1 * p2^c2 * ... *pk^ck
约数个数：(c1 + 1) * (c2 + 1) * ... * (ck + 1)
约数之和：(p1^0 + p1^1 + ... + p1^c1) * ... * (pk^0 + pk^1 + ... + pk^ck)
欧几里得算法
int gcd(int a, int b)
{
return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
欧拉函数的计算
int phi(int x)
{
int res = x;
for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
if (x % i == 0)
{
res = res / i * (i - 1);
while (x % i == 0) x /= i;
}
if (x > 1) res = res / x * (x - 1);
return res;
}
分解质因数的同时完成计算，时间复杂度$O(\sqrt{n})$
筛法求欧拉函数
int primes[N], cnt; // primes[]存储所有素数
int euler[N]; // 存储每个数的欧拉函数
bool st[N]; // st[x]存储x是否被筛掉
void get_eulers(int n)
{
euler[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i ++ )
{
if (!st[i])
{
primes[cnt ++ ] = i;
euler[i] = i - 1;
}
for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
{
int t = primes[j] * i;
st[t] = true;
if (i % primes[j] == 0)
{
euler[t] = euler[i] * primes[j];
break;
}
euler[t] = euler[i] * (primes[j] - 1);
}
}
}
线性筛法的同时，迭代计算欧拉函数，时间复杂度$O(n)$
快速幂
int qmi(int m, int k, int p)
{
int res = 1 % p, t = m;
while (k)
{
if (k&1) res = res * t % p;
t = t * t % p;
k >>= 1;
}
return res;
}
求$m^k mod p$，$k$拆分为二进制，进行迭代计算，时间复杂度$O(log(k))$
扩展欧几里得算法
// 求x, y，使得ax + by = gcd(a, b)
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if (!b)
{
x = 1; y = 0;
return a;
}
int d = exgcd(b, a % b, y, x);
y -= (a/b) * x;
return d;
}
在计算gcd的同时，将x、y加入迭代过程，递归求解
高斯消元解线性方程组
// a[N][N]是增广矩阵
int gauss()
{
int c, r;
for (c = 0, r = 0; c < n; c ++ )
{
int t = r;
for (int i = r; i < n; i ++ ) // 找到绝对值最大的行
if (fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c]))
t = i;
if (fabs(a[t][c]) < eps) continue;
for (int i = c; i <= n; i ++ ) swap(a[t][i], a[r][i]); // 将绝对值最大的行换到最顶端
for (int i = n; i >= c; i -- ) a[r][i] /= a[r][c]; // 将当前行的首位变成1
for (int i = r + 1; i < n; i ++ ) // 用当前行将下面所有的列消成0
if (fabs(a[i][c]) > eps)
for (int j = n; j >= c; j -- )
a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];
r ++ ;
}
if (r < n)
{
for (int i = r; i < n; i ++ )
if (fabs(a[i][n]) > eps)
return 2; // 无解
return 1; // 有无穷多组解
}
for (int i = n - 1; i >= 0; i -- )
for (int j = i + 1; j < n; j ++ )
a[i][n] -= a[i][j] * a[j][n];
return 0; // 有唯一解
}
完全模拟计算过程，即先化为阶梯型矩阵，再判断解的情况，若有唯一解则化为标准型矩阵得到方程组的解。
注意点：每次选取系数绝对值最多的行为主元，以保证精度。
递推法求组合数
// c[a][b] 表示从a个苹果中选b个的方案数
for (int i = 0; i < N; i ++ )
for (int j = 0; j <= i; j ++ )
if (!j) c[i][j] = 1;
else c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;
利用递推式c[i][j] = c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]计算组合数。
通过预处理逆元的方式求组合数
int qmi(int a, int k, int p) // 快速幂模板
{
int res = 1;
while (k)
{
if (k & 1) res = (LL)res * a % p;
a = (LL)a * a % p;
k >>= 1;
}
return res;
}
// 预处理阶乘的余数和阶乘逆元的余数
fact[0] = infact[0] = 1;
for (int i = 1; i < N; i ++ )
{
fact[i] = (LL)fact[i - 1] * i % mod;
infact[i] = (LL)infact[i - 1] * qmi(i, mod - 2, mod) % mod;
}
首先预处理出所有阶乘取模的余数fact[N]，以及所有阶乘取模的逆元infact[N]。
如果取模的数是质数，可以用费马小定理求逆元。
Lucas定理求组合数
int qmi(int a, int k, int p) // 快速幂模板
{
int res = 1 % p;
while (k)
{
if (k & 1) res = (LL)res * a % p;
a = (LL)a * a % p;
k >>= 1;
}
return res;
}
int C(int a, int b, int p) // 通过定理求组合数C(a, b)
{
if (a < b) return 0;
LL x = 1, y = 1; // x是分子，y是分母
for (int i = a, j = 1; j <= b; i --, j ++ )
{
x = (LL)x * i % p;
y = (LL) y * j % p;
}
return x * (LL)qmi(y, p - 2, p) % p;
}
int lucas(LL a, LL b, int p)
{
if (a < p && b < p) return C(a, b, p);
return (LL)C(a % p, b % p, p) * lucas(a / p, b / p, p) % p;
}
Lucas定理：若p是质数，则对于任意整数1 <= m <= n，有：C(n, m) = C(n % p, m % p) * C(n / p, m / p) % p
根据Lucas定理以递归的方式计算组合数。
分解质因数法求组合数
int primes[N], cnt; // 存储所有质数
int sum[N]; // 存储每个质数的次数
bool st[N]; // 存储每个数是否已被筛掉
void get_primes(int n) // 线性筛法求素数
{
for (int i = 2; i <= n; i ++ )
{
if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;
for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
{
st[primes[j] * i] = true;
if (i % primes[j] == 0) break;
}
}
}
int get(int n, int p) // 求n！中的次数
{
int res = 0;
while (n)
{
res += n / p;
n /= p;
}
return res;
}
vector<int> mul(vector<int> a, int b) // 高精度乘低精度模板
{
vector<int> c;
int t = 0;
for (int i = 0; i < a.size(); i ++ )
{
t += a[i] * b;
c.push_back(t % 10);
t /= 10;
}
while (t)
{
c.push_back(t % 10);
t /= 10;
}
return c;
}
get_primes(a); // 预处理范围内的所有质数
for (int i = 0; i < cnt; i ++ ) // 求每个质因数的次数
{
int p = primes[i];
sum[i] = get(a, p) - get(b, p) - get(a - b, p);
}
vector<int> res;
res.push_back(1);
for (int i = 0; i < cnt; i ++ ) // 用高精度乘法将所有质因子相乘
for (int j = 0; j < sum[i]; j ++ )
res = mul(res, primes[i]);
当我们需要求出组合数的真实值，而非对某个数的余数时，分解质因数的方式比较好用：
1. 筛法求出范围内的所有质数
2. 通过C(a, b) = a! / b! / (a - b)!这个公式求出每个质因子的次数。n!中p的次数是 n / p + n / p^2 + n / p^3 + ...
3. 用高精度乘法将所有质因子相乘
卡特兰数
给定n个0和n个1，它们按照某种顺序排成长度为2n的序列，满足任意前缀中0的个数都不少于1的个数的序列的数量为：Cat(n) = C(2n, n) - C(2n, n - 1) = C(2n, n) / (n + 1)
