前言

这个推导过程对初中生还是非常有用的，大家记得收藏！

前往题解部分的链接（我把题解做成了连续剧一样的东西）

仙岛求药

上文链接

快读快写模板

下文链接

最短路径模板总结

此篇后续

罗氏求根 一元二次方程的根与系数的关系の后续

入门知识

• $(-a)^2 = a^2$

• $(\frac{a}{b})^2 = \frac{a^2}{b^2}$

• $\sqrt{a}中,a \ge 0$

• $a^2 = x (x \ge 0),那么a = \pm \sqrt{x}$

• $(ab)^2 = a^2b^2$

• $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

• $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$

• $(\sqrt{a})^2 = a(a \ge 0)$

• $\sqrt{a^2} = |a| =${$a (a \ge 0)\\ -a (a < 0)$}（LaTex爆了，只能写成这样）

• $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} (a \ge 0,b \ge 0)$

• $\sqrt {\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt {a}}{\sqrt {b}} (a \ge 0,b > 0)$

公式推导（看不到的自己去下面找进度条去拉动）

对于一个一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0 (a,b,c均为常数，且a \ne 0)(任何满足上述要求的一元二次函数都可以转化为ax^2 + bx + c = 0的形式),如果b^2 - 4ac \ge 0,那么:$

$ax^2 + bx + c = 0$

$ax^2 + bx = -c$ //移项

$x^2 + \frac {b}{a}x = - \frac{c}{a}$ //两边同除以a,方便配方

$x^2 + \frac {b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 = - \frac{c}{a} + (\frac{b}{2a})^2$ //配方

$(x + \frac{b}{2a})^2 = - \frac{c}{a} + (\frac{b}{2a})^2$

$(x + \frac{b}{2a})^2 = - \frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}$

$(x + \frac{b}{2a})^2 = - \frac{4ac}{4a^2} + \frac{b^2}{4a^2}$

$(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}$

$x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt {\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

$x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

$$x_1 = \frac{\sqrt {b^2-4ac}}{2a} - \frac{b}{2a} = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
$$x_2 = - \frac{\sqrt {b^2-4ac}}{2a} - \frac{b}{2a} = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$so,$
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} (b^2 - 4ac \ge 0)$$

当然,学过二次函数的也可以这样子推导（我以后写一个二次函数的博客，敬请期待）:

基本公式:
$ax^2 + bx +c = a(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$ ($a,b,c$均为常数,$a \ne 0$),如果$b^2-4ac \ge 0$,那么:

$a(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a} = 0$

$a(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a} = 0$

$a(x + \frac{b}{2a})^2 = - \frac{4ac - b^2}{4a}$

$(x + \frac{b}{2a})^2 = - \frac{4ac - b^2}{4a^2}$

$(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac }{4a^2}$

$x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt {\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

$x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

$$x_1 = \frac{\sqrt {b^2-4ac}}{2a} - \frac{b}{2a} = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
$$x_2 = - \frac{\sqrt {b^2-4ac}}{2a} - \frac{b}{2a} = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$so,$
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

拓展1（可能不算拓展）

· 若$b^2 - 4ac > 0$,方程$ax^2 + bx + c = 0(a \ne 0)$有两个不相等的实数根:
$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ ,
$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
· 若$b^2 - 4ac = 0$,方程$ax^2 + bx + c = 0(a \ne 0)$有两个相等的实数根:
$$x = - \frac{b}{2a}$$
· 若$b^2 - 4ac < 0$,方程$ax^2 + bx + c = 0(a \ne 0)$没有实数根.

拓展2（韦达定理）

已知$ax^2 + bx + c = 0(a,b,c为常数,且a \ne 0)$,如果$b^2-4ac \ge 0$,求$x_1 + x_2$和$x_1 \times x_2$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a},x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = - \frac{b}{a}$

$$x_1 \times x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \times \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{(-b + \sqrt{b^2-4ac}) \times (-b - \sqrt{b^2-4ac})}{4a^2} = \frac{(-b)^2 - (\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2} = \frac{b^2 - (b^2-4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$$

例题

说了这么多，大家可能觉得在编程方面可能没有什么帮助，所以我加了一道例题，如下：

【NOIP2003初赛完善程序】一元二次方程

【题目描述】
方程$ax^2+bx+c=0$,要求给出它的实数解.

【输入格式】
三个实数:$a,b,c,$是方程的三个系数$(a \ne 0)$.

【输出格式】
如果无实数解,则输出 $No solution$;
如果有两个相等的实数解,则输出其中一个,四舍五入到小数点后面$3$位;
如果有两个不等的实数解,则解与解之间用逗号隔开,同样要四舍五入到小数点后$3$位.

【输入样例】

1 2 1

【输出样例】

-1.000

现在这道题目是不是有点$water$了！

可以直接用拓展1的结论！

$\Huge AC Code$

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define rep(i,l,r)  for (LL i=(l);i<=(r);++i)
#define per(i,r,l)  for (LL i=(r);i>=(l);--i)
#define fre freopen
using namespace std;
inline LL read(){
    LL s=0,w=1;
    char c=getchar();
    for (;!isdigit(c);c=getchar())  if (c=='-') w=-1;
    for (;isdigit(c);c=getchar())   s=(s<<1)+(s<<3)+(c^48);
    return s*w;
}
double a,b,c,delta;
signed main(){
    //fre(".in","r",stdin);
    //fre(".out","w",stdout);
    a=read(),b=read(),c=read();
    delta=b*b-4*a*c;
    if (delta>0){
        printf("%.3lf",(-1*b+sqrt(delta))/(2*a));
        printf(",");
        printf("%.3lf",(-1*b-sqrt(delta))/(2*a));
    }
    else    if (abs(delta)<0.0001)  //存在精度误差 
        printf("%.3lf",-1*b/(2*a));
    else
        puts("No solution");
    return 0;
}