笔记汇总

定义结构体

struct Node
{
    int s[2], p, v;
    int rev, same;  // 懒标记，一被标记就要负责（优先于查询）
    int size, sum, ms, ls, rs;  
    void init(int _v, int _p)
    {
        s[0] = s[1] = 0, p = _p, v = _v;
        rev = same = 0;
        size = 1; sum = ms = v;
        ls = rs = max(ms, 0);
    }
}tr[N];

哨兵

insert(-INF), insert(INF);  // 解决边界问题的常用技巧

w[0] = -INF, w[n+1] = INF;  // 另一种方法

tr[0].ms = XXX;    // 处理子树为空时的信息传递

伸展

void rotate(int x)
{
    int y = tr[x].p, z = tr[y].p;
    int k = tr[y].s[1] == x;
    tr[z].s[tr[z].s[1] == y] = x, tr[x].p = z;
    tr[y].s[k] = tr[x].s[k^1], tr[tr[x].s[k^1]].p = y;
    tr[x].s[k^1] = y, tr[y].p = x;
    pushup(y), pushup(x);
}

void splay(int x, int k)
{
    while (tr[x].p != k)
    {
        int y = tr[x].p, z = tr[y].p;
        if (z != k)
        {
            if ((tr[z].s[1] == y) ^ (tr[y].s[1] == x)) rotate(x);
            else rotate(y);
        }
        rotate(x);
    }
    if (!k) root = x;
}

pushup

void pushup(int x)  
{
    Node &u = tr[x], &l = tr[u.s[0]], &r = tr[u.s[1]];
    u.size = l.size + r.size + 1;   // 一定要加上自己
    u.sum = l.sum + r.sum + u.v;
    u.ls = max(l.ls, l.sum + u.v + r.ls);
    u.rs = max(r.rs, r.sum + u.v + l.rs);
    u.ms = max(max(l.ms, r.ms), l.rs + u.v + r.ls);
}

pushdown

void pushdown(int x)
{
    Node &u = tr[x], &l = tr[u.s[0]], &r = tr[u.s[1]];
    if (u.same)
    {
        u.same = u.rev = 0; // 权值一样的话, 就不用翻转了
        if (u.s[0]) l.same = 1, l.v = u.v, l.sum = l.v * l.size;
        if (u.s[1]) r.same = 1, r.v = u.v, r.sum = r.v * r.size;
        if (u.v > 0)
        {
            if (u.s[0]) l.ms = l.ls = l.rs = l.sum;
            if (u.s[1]) r.ms = r.ls = r.rs = r.sum;
        }
        else
        {
            if (u.s[0]) l.ms = l.v, l.ls = l.rs = 0;
            if (u.s[1]) r.ms = r.v, r.ls = r.rs = 0;
        }
    }
    else if (u.rev) // 左中右 -> 右中左
    {
        u.rev = 0, l.rev ^= 1, r.rev ^= 1;
        swap(l.ls, l.rs), swap(r.ls, r.rs);
        swap(l.s[0], l.s[1]), swap(r.s[0], r.s[1]);
    }
}

值为 $v$ 的元素的排名

int get(int v)  // >= 的最小数
{
    int u = root, res;
    while (u)
    {
        if (v <= tr[u].v) res = u, u = tr[u].s[0];
        else u = tr[u].s[1];
    }
    splay(res, 0);
    return tr[tr[root].s[0]].size;   // 返回的是 >= 的最小数的排名, 这里算了哨兵
}

void find(int v)
{
    int u = root;
    while (tr[u].v != v && tr[u].s[v > tr[u].v])
        u = tr[u].s[v > tr[u].v];
    splay(u, 0);
}

tr[tr[root].s[0]].size

求前驱后继

int next(int x, int f)
{
    int u = root;
    if ((tr[u].v > x && f) || (tr[u].v < x && !f))  // 严格
        return tr[u].v;
    u = tr[u].s[f];
    while (tr[u].s[f^1])
        u = tr[u].s[f^1];
    return tr[u].v;
}

int next(int x, int f)
{
    int u = root;
    if ((tr[u].v >= x && f) || (tr[u].v <= x && !f))  // 非严格
        return tr[u].v;
    u = tr[u].s[f];
    while (tr[u].s[f^1])
        u = tr[u].s[f^1];
    return tr[u].v;
}

求排名为 $k$ 的元素的下标

int get_k(int k)    // 返回排名为 k 的元素的编号
{
    int u = root;
    while (u)
    {
        pushdown(u);
        int l = tr[u].s[0], r = tr[u].s[1];
        if (tr[l].size >= k) u = l;
        else if (tr[l].size + 1 == k) return u;
        else k -= tr[l].size + 1, u = r;
    }
    return -1;
}

tr[get_k(k + 1)].v  // 排名为 k 的元素的值, + 1 是因为哨兵

区间删除

int posi, tot;
scanf("%d%d", &posi, &tot);
int l = get_k(posi), r = get_k(posi + tot + 1);
splay(l, 0), splay(r, l);
tr[r].s[0] = 0;
pushup(r), pushup(l);

区间建树

int build(int l, int r, int p)
{
    int mid = l + r >> 1;
    int u = ++ idx;
    tr[u].init(w[mid], p);
    if (l < mid) tr[u].s[0] = build(l, mid - 1, u);
    if (mid < r) tr[u].s[1] = build(mid + 1, r, u);
    pushup(u);
    return u;
}

区间插入

int posi, tot;
scanf("%d%d", &posi, &tot);
for (int i = 0; i < tot; i ++ ) scanf("%d", &w[i]);
int l = get_k(posi + 1), r = get_k(posi + 2);
splay(l, 0), splay(r, l);
int u = build(0, tot - 1, r);
tr[r].s[0] = u;
pushup(r), pushup(l);

可重集

struct Node
{
    int s[2], p, v;
    int size, cnt;
    void init(int _v, int _p)
    {
        p = _p, v = _v;
        size = cnt = 1;
    }
}tr[N];

伸展，元素上传，元素下传，知排名求编号，区间建树和部分非函数操作都会受到影响。

内存回收

for (int i = 1; i < N; i ++ ) nodes[ ++ tt] = i;    // 内存创建

void dfs(int u) 
{
    if (tr[u].s[0]) dfs(tr[u].s[0]);
    if (tr[u].s[1]) dfs(tr[u].s[1]);
    nodes[ ++ tt] = u;  // 删点时回收内存
}

int build(int l, int r, int p)
{
    int mid = l + r >> 1;
    int u = nodes[tt -- ];  // 加点时释放内存
    tr[u].init(w[mid], p);
    if (l < mid) tr[u].s[0] = build(l, mid - 1, u);
    if (mid < r) tr[u].s[1] = build(mid + 1, r, u);
    pushup(u);
    return u;
}

多个平衡树

struct Node
{
    int s[2], p, v, id; // id 是这个元素的初始编号
    int size;
    void init(int _v, int _id, int _p)
    {
        v = _v, id = _id, p = _p;
        size = 1;
    }
}tr[N];
int root[N], idx;   // 处理各个连通块的平衡树

多个平衡树时的操作

void splay(int x, int k, int b) // 将 x 转到第 b 个平衡树的第 k 个位置下面
{
    while (tr[x].p != k)
    {
        int y = tr[x].p, z = tr[y].p;
        if (z != k)
        {
            if ((tr[y].s[1] == x) ^ (tr[z].s[1] == y)) rotate(x);
            else rotate(y);
        }
        rotate(x);
    }
    if (!k) root[b] = x; 
}

void insert(int v, int id, int b)   // 将值为 v 的点插入到第 b 个平衡树里面
{
    int u = root[b], p = 0;
    while (u) p = u, u = tr[u].s[v > tr[u].v];
    u = ++ idx;
    if (p) tr[p].s[v > tr[p].v] = u;
    tr[u].init(v, id, p);
    splay(u, 0, b);
}

int get_k(int k, int b)
{
    int u = root[b];
    while (u)
    {
        int l = tr[u].s[0], r = tr[u].s[1];
        if (tr[l].size >= k) u = l;
        else if (tr[l].size + 1 == k) return tr[u].id;
        else k -= tr[l].size + 1, u = r;
    }
    return -1;
}

平衡树合并

void dfs(int u, int b)  // 将 a 的所有点插入到 b 里面
{
    if (tr[u].s[0]) dfs(tr[u].s[0], b);
    if (tr[u].s[1]) dfs(tr[u].s[1], b);
    insert(tr[u].v, tr[u].id, b);
}

dfs(root[a], b);