拖延了一个月，终于可以开始整理啦！

由于太长怕把AcWing炸了……
树论总结中的树链剖分一部分新建一个帖子。

树链剖分是处理树上问题的重要工具，用于将树分割成若干条链的形式，以维护树上的路径信息。

对树链剖分的学习由一道题开始：

对一棵有 $n$ 个节点，节点带权值的静态树，进行三种操作共 $q$ 次：

1. 修改单个节点的权值
2. 查询 $u$ 到 $v$ 的路径上的最大权值
3. 查询 $u$ 到 $v$ 的路径上的权值之和。

保证 $1 \leq n \leq 30000$ ， $1 \leq q \leq 200000$ 。

于是就诞生了树链剖分

$$\Huge树链剖分笔记$$

目录：

1. 树链剖分的作用。
2. 树链剖分的种类。
3. 树链剖分的相关定义。
4. 树链剖分的实现。
5. 树链剖分两个$DFS$的代码。
6. 树链剖分的性质。
7. 树链剖分的常见应用。

现在开始介绍树链剖分

1. 树链剖分的作用：
   • 需要一个强大的能够对树上的数据统一处理的工具，于是有些很烦的人发明了树链剖分。
   • 具体来说，将整棵树剖分为若干条链，使它组合成线性结构，然后用其他的数据结构维护信息。
2. 树链剖分的种类：
   • 树链剖分具有多种形式，如：
     • 重链剖分
     • 长链剖分
     • 实链剖分
   • 大多数情况下（没有特别说明），树链剖分指的都是重链剖分，这也是最常用的。
3. 树链剖分的相关定义：
   • 重子节点：对于一个节点，重子节点就是其子节点中子树最大的子节点。有多个最大就任取一，没有子节点就无重子节点。
   • 轻子节点：对于一个节点，轻子节点是除重子节点外的剩余所有子节点。
   • 重边：从一个节点到它的重子节点的连边。
   • 轻边：从一个节点到其它轻子节点的连边。
   • 重链：若干条首尾相连的重边组成的链。

   • 把落单的节点也当作重链，那么整棵树就被剖分为若干条重链。

若不理解的话可以看下图：

1. 树链剖分的实现：
   • $dfs1$第一次$DFS$：
     • 记录每一个节点的父节点。
     • 记录每一个节点的深度。
     • 记录每一个节点的子树大小。
     • 记录每一个节点的重子节点。
   • $dfs2$第二次$DFS$：
     • 记录每一个节点的链顶（即所在重链的顶），应当初始化为节点本身。
     • 记录每一个节点在重边优先遍历的时候的$DFS$序。
     • 记录$DFS$序所对应的节点编号（与上一点相互映射）。
2. 树链剖分两个$DFS$的代码：
   • $fa_x$是$x$的父亲。
   • $dep_x$是$x$的深度。
   • $siz_x$是$x$的子树大小。
   • $son_x$是$x$的重儿子。
   • $top_x$是$x$的链顶。
   • $dfn_x$是$x$的$DFS$序。
   • $rnk_x$是$DFS$序对应的节点编号，因此$rnk_{dfn_x}=x$

void dfs1(int o) {
    son[o] = -1;
    siz[o] = 1;
    for (int j = h[o]; j; j = nxt[j])
        if (!dep[p[j]]) {
            dep[p[j]] = dep[o] + 1;
            fa[p[j]] = o;
            dfs1(p[j]);
            siz[o] += siz[p[j]];
            if (son[o] == -1 || siz[p[j]] > siz[son[o]]) son[o] = p[j];
        }
}

void dfs2(int o, int t) { 
    top[o] = t;
    cnt++;
    dfn[o] = cnt;
    rnk[cnt] = o;
    if (son[o] == -1) return;
    dfs2(son[o], t); // 优先对重儿子进行 DFS，可以保证同一条重链上的点 DFS 序连续
    for (int j = h[o]; j; j = nxt[j])
        if (p[j] != son[o] && p[j] != fa[o]) dfs2(p[j], p[j]);
}

1. 树链剖分的性质：
   • 树上的每个节点都属于且仅属于一条重链。
   • 在剖分时重边优先遍历，最后树的 $dfn$ 序上，重链内的 $dfn$ 序是连续的，按 $dfn$ 序排序后的序列即为剖分后的链。
   • 一颗子树内的 $dfn$ 序是连续的。
   • 可以发现，当我们向下经过一条轻边时，所在子树的大小至少会除以 $2$。因此，对于树上的任意一条路径，把它拆分从 $lca$ 往两边走，分别最多走 $O(log~n)$ 次，因此，树上的每条路径都可以被拆分成不超过 $O(log~n)$ 条重链。
2. 树链剖分的常见应用：
   • 路径上维护。例如用树链剖分求树上两点路径权值和，由于链上的 $dfs$ 序是连续的，可以使用线段树、树状数组维护。每次选择深度较大的链往上跳，直到两点在同一条链上。这样跳链的操作适用于维护，统计，修改路径上的其他信息。
   • 子树维护。有时会要求，维护子树上的信息，比如将以 $x$ 为根的子树的所有节点的权值增加 。由于子树中节点的 $dfs$ 序是连续的。那么子树信息就可以转化为一段区间信息。
   • 最近公共祖先：不断向上跳重链，当跳到同一条重链上时，深度较小的点即为 $lca$。

终于结束了

容易发现经过重链剖分，一段重链的节点和一个子树的节点 dfs 序都是连续的，因此可以直接用线段树等维护区间信息的数据结构维护。——2023.7.20

既然来了又滑到底部，看到这里还不赞一个？