关于上次一张小讲义的最后一题(即本笔记后面的例一),这道题其实有通用解法,再也不用转化为等效电路,不用浪费脑细胞,不用管有没有电桥,只需设几个变量,列个方程全部搞定,童叟无欺,快乐无脑……
先介绍一个“小”定律
基尔霍夫第一定律
对于闭合电路中任意一点,恒有汇入电流等于汇出电流,即
∑I入=∑I出
如:对于图中电路,有:I1+I2=I3
本解法整体思路:
设出图中各节点电势,用上述电流之间的关系列出方程,最后求出所需的量。
例一
由于电流从O点流入,D点流出,因此设O点电势为U(设成1也行),D点电势为0.
如下图,红色箭头为电流方向:
显然,此时OA段电流为U−ϕAr,其他段也同理,
于是可列出如下方程组:
\left\\{ \begin{aligned} 对A点:\frac{U-\phi_A}{r} = & \frac{\phi_A-\phi_B}{r} + \frac{\phi_A-\phi_C}{r}\\\ 对B点:\frac{U-\phi_B}{r} + & \frac{\phi_A-\phi_B}{r} = \frac{\phi_B-0}{\frac r2}\\\ 对C点:\frac{U-\phi_C}{r} + & \frac{\phi_A-\phi_C}{r} = \frac{\phi_C-0}{\frac r2}\\\ \end{aligned} \right.
解得:\left\\{ \begin{aligned} \phi_A = & \frac 35 U\\\ \phi_B = & \phi_C = \frac 25 U\\\ \end{aligned} \right.
以及最后一道方程确定U、I和r的关系:
对O点:I=U−ϕAr+U−ϕBr+U−ϕCr
解得:Ur=58I
解完方程组再回来看问题
AB段电流为ϕA−ϕBr=18I
OD段等效电阻即为UI=58r
例二:
如图,U=12V,R1=R2=10Ω,R3=R4=5Ω,R5=2Ω,求经过R3的电流I大小.
同理,假设电流从上方流到下方,流入点电势为U,流出点电势为0,
本题由于不确定流过R3的电流方向,因此随便假设一个方向,最后算出来的电势一定是对的。此处假设R3处电流像左
列方程:\left\\{ \begin{aligned} 对a点:\frac{U-\phi_a}{R1} + & \frac{\phi_b-\phi_a}{R3} = \frac{\phi_a-0}{R4}\\\ 对b点:\frac{U-\phi_b}{R2} = & \frac{\phi_b-\phi_a}{R3} + \frac{\phi_b-0}{R5}\\\ \end{aligned} \right.
解得:\left\\{ \begin{aligned} \phi_a = & \frac{10}{3}\\\ \phi_b = & \frac{21}{9}\\\ \end{aligned} \right.
故I=|ϕa−ϕb|R3=0.2A
PS:本解法源自竞赛,但由于实在简单好用,就介绍给大家了。
为何莫名感觉像网络流
巧了,我也这么想
不愧是海龙