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本文介绍字符串匹配之 KMP 算法。

写在前面

KMP 算法用于解决字符串的单模匹配问题，即在一个主串 $\rm S$ 中查找模式串 $\rm P$ 的所有出现位置，该算法解决此问题的时间复杂度为 $O(|\rm S|+|\rm P|)$。
本文不再介绍暴力做法以及字符串哈希解法。

KMP 算法

在 KMP 算法中，有一个很重要的数组，叫做 $\rm Next$ 数组（也有地方叫 $\rm Fail$ 数组或者前缀函数）。$\rm Next$ 数组巧妙地利用了模式串 $\rm P$ 中以某个位置结尾的后缀的与 $\rm P$ 的前缀匹配的信息，来加速 $\rm P$ 在 $\rm S$ 中的匹配过程。

Next 数组的性质

$\mathrm{Next}[i]$ 表示模式串 $\rm P$ 中以 $i$（下标从 $1$ 开始）结尾的真后缀¹能匹配 $\rm P$ 的前缀的最大长度。

$$\mathrm{Formally},\ \mathrm{Next}[i]=\max_{1 \le j \le i-1} \lbrace j\rbrace \ \mathrm{while}\ \mathrm{P}[1:j]==\mathrm{P}[i-j+1:i]$$

请务必理解上表，并且要时刻记得 $\rm Next[\ ]$ 表示的是模式串 $\rm P$ 的信息。

我们先不考虑 $\rm Next[\ ]$ 如何求解，而是看看它有什么性质，接下来，我将从较宏观的角度²来解释，而不是通过具体的实例来分析。

现在我们有一个字符串 $\rm P$，并且已知了 $\rm Next[\ ]$ 数组。有 $\mathrm{Next}[i]=j$, $\mathrm{Next}[j]=k$。
那么有一个显然的性质：$k<j<i$，然后我们可以画出下面的示意图：

也就是说，若以 $i$ 结尾的真后缀能匹配 $\rm P$ 的前缀的最大长度为 $\mathrm{Next}[i]$，那么它能匹配的次长前缀长度为 $\mathrm{Next[Next}[i]]$，以此类推，$\mathrm{Next[Next[Next}[i]]] \cdots$ 直至匹配长度为 $0$ 为止。

这是一条很重要的性质，是KMP算法的关键，它与模式串 $\rm P$ 在主串 $\rm S$ 中发生失配时的下一步操作有关。

KMP 匹配过程

下面我们举个例子来演示 $\mathrm{Next}[\ ]$ 在匹配过程中的作用。

已知主串 $\rm S$ 和模式串 $\rm P$，且 $\rm P$ 的 $\mathrm{Next}[\ ]$ 数组已经求出来了，当前主串 $\rm S$ 匹配到下标 $i-1$ 位置，模式串 $\rm P$ 匹配到下标 $j$ 位置，即满足 $\mathrm{S}[i-j:i-1]==\mathrm{P}[1:j]$，如下图所示：

1. $\mathrm{S}[i] == \mathrm{P}[j+1]$，则 $j$ 后移一位，表示这一位匹配成功，此时如果 $j$ 到达了 $\rm P$ 串的末尾，说明 $\rm P$ 在 $\rm S$ 中出现了，在 $\rm S$ 中的起始下标为 $i-|\mathrm{P}|+1$。
2. $\mathrm{S}[i] \neq \mathrm{P}[j+1]$，发生失配，此时难道我们需要从头开始匹配吗？不需要，我们已经知道了 $\rm P$ 中以 $j$ 结尾的后缀已经能与 $\rm S$ 中以 $i-1$ 结尾的后缀能够匹配，我们希望 $\rm P$ 串向右移动最少，即希望..移动后.. $\rm P$ 的前缀能与 $\rm S$ 中以 $i-1$ 结尾的后缀匹配尽可能长，而 $\rm S$ 中以 $i-1$ 结尾的后缀又等效于 $\rm P$ 中以 $j$ 结尾的后缀，这恰好就是 $\mathrm{Next}[j]$ 的含义，$\mathrm{S}[i-\mathrm{Next}[j]:i-1]==\mathrm{P}[1:\mathrm{Next}[j]]$，也就是图中标记的紫色部分匹配。那么只要将 $\rm P$ 中第一段紫色移动到第二段位置即可，如下图所示：

上述移动的过程，就是令 $j=\mathrm{Next}[j]$。然后我们只需要再比较 $\mathrm{S}[i]$ 与 $\mathrm{P}[j+1]$ 是否匹配即可。如果不匹配就需要不断回退 $j=\mathrm{Next}[j]$，其实就是不断用 $\mathrm{P}$ 中已经能与 $\rm S$ 中以 $i-1$ 结尾的后缀匹配的前缀，减少中间多余匹配过程，在不断失配的过程中，所使用的 $\rm P$ 的前缀长度递减，直至为 $0$。如果经过某次 $j$ 的回退，满足了 $\mathrm{S}[i]==\mathrm{P}[j+1]$，那么 $j$ 就可以后移了。图中表现的是，经过一次回退，就能成功匹配的情况（都是蓝色的小方块）。

以上就是 KMP 算法的匹配过程，代码如下：

/* n为模式串p的长度，m为主串s串的长度 */
for (int i = 1, j = 0; i <= m; i++) {
    while (j && s[i] != p[j + 1]) j = Next[j]; /* 失配j就不断回退 */
    if (s[i] == p[j + 1]) j++; /* 匹配成功j后移 */
    if (j == n) { /* p在s中完整出现 */
        cout << i - n + 1 << " "; /* 出现的起始位置 */
        j = Next[j]; /* 防止下一轮匹配时j+1越界 */
    }
}

Next 数组求解

理解了上述匹配过程，$\rm Next[\ ]$ 的求解就不难理解了。我们可以把 $\rm Next[\ ]$ 的求解过程看成是两个相同的串 $\rm P$ 匹配的过程，也可以看成模式串 $\rm P$ 自身与自身匹配的过程。

首先对于 $\rm P$ 串，显然有 $\mathrm{Next}[1]=0$（因为只考虑..真..前/后缀），然后两个指针 $i=2,j=0$ 开始，考虑 $\mathrm{P}[i]$ 与 $\mathrm{P}[j+1]$ 是否匹配，如果不匹配，那么 $j=\mathrm{Next}[j]$ 不断回退，直到回退到匹配长度为 $0$ 或者某一个 $j$ 能满足 $\mathrm{P}[i]==\mathrm{P}[j+1]$；如果 $\mathrm{P}[i]==\mathrm{P}[j+1]$，$j$ 后移，说明以 $\rm P$ 中以 $i$ 结尾的真后缀能匹配 $\rm P$ 的前缀的最大长度为 $j$，因此 $\mathrm{Next}[i]=j$。是不是与 KMP 匹配过程如出一辙呢？代码如下：

Next[1] = 0; /* 全局变量时可省略 */
for (int i = 2, j = 0; i <= n; i++) {
    while (j && p[i] != p[j + 1]) j = Next[j];
    if (p[i] == p[j + 1]) j++;
    Next[i] = j; /* 更新Next */
}

完整代码

题目链接：AcWing 831. KMP字符串

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010, M = 1000010;

int n, m;
char p[N], s[M];
int Next[N];

int main() {
    cin >> n >> p + 1 >> m >> s + 1;
    for (int i = 2, j = 0; i <= n; i++) {
        while (j && p[i] != p[j + 1]) j = Next[j];
        if (p[i] == p[j + 1]) j++;
        Next[i] = j;
    }
    for (int i = 1, j = 0; i <= m; i++) {
        while (j && s[i] != p[j + 1]) j = Next[j];
        if (s[i] == p[j + 1]) j++;
        if (j == n) {
            printf("%d ", i - n); /* 本题下标从0开始，与上文不同 */
            j = Next[j];
        }
    }
    return 0;
}

时间复杂度分析

$\mathrm{Next}[\ ]$ 求解与 KMP 匹配的时间复杂度分析类似，这里就分析一下 KMP 的匹配过程的时间复杂度。首先，在每次i++的过程中，j最多只会增加一次，因此j总共最多增加 $|\rm S|$ 次，而while循环中j总共的回退次数不可能超过它增加的次数，因此while循环中j最多回退 $|\rm S|$ 次，所以 KMP 匹配过程时间复杂度为 $O(|\rm S|)$。$\mathrm{Next}[\ ]$ 求解时间复杂度为 $O(|\rm P|)$。
因此，整个算法的总时间复杂度为 $O(|\rm S| + |\rm P|)$。

特别鸣谢

1. AcWing 算法基础课
2. 时间复杂度分析：皎月半洒花的题解