$$二分图基础$$
$二分图的定义$
二分图,指一张无向图存在一种方案,把点集分成两个集合
使得各点集内部不出现边,并且所有边都从一个集合中的点,连向了另一个集合中的点
$二分图的判定$
如果一张无向图是二分图,那么图中一定不会出现长度为奇数的环
因此可以用bfs,给每一个节点染色,如果出现两个相邻的点的颜色相同,那么就一定不是二分图
$code$
bool paint(int u)
{
int hh = 0, tt = 0;
q[0] = u, st[u] = true;
color[u] = 1;
while (hh <= tt)
{
int t = q[hh ++ ];
for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (!color[j])
{
color[j] = color[t] ^ 3;
st[j] = true, q[++ tt] = j;
}
else if (color[t] == color[j])
return false;
}
}
return true;
}
$二分图最大匹配$
把一张无向图转变成二分图以后
图中所有点分成了左右两个集合
任意两条边都没有公共端点的边集合被称为图的一种匹配
所有匹配中边数最多的匹配被称为二分图的最大匹配
$增广路$
对于图中的一种匹配S
若e属于S,则称e为匹配边,否则为非匹配边
若存在一条连接两个非匹配点的路径path
并且匹配边与非匹配边在路径中交替出现
则称path是匹配S的增广路
二分图的一组匹配S是最大匹配,那么S一定不存在增广路
$匈牙利算法$
匈牙利算法用于计算二分图的最大匹配
主要步骤如下:
1.枚举所有左部的点x
2.枚举点x的所有边,以及边连向的点y
3.若y没有被匹配过,那么把边(x,y)加入匹配,x匹配成功
4.否则查看匹配点y的点z,尝试让z匹配其他点
5.若z匹配成功,那么拆掉z于y的边,加入边(x,y),并把z于新匹配点的边加入
6.若匹配失败,那么点x枚举下一个点y
$Code$
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 510, M = 100010;
int n1, n2, m;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int match[N], st[N];
void add(int a,int b)
{
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}
int find(int u)
{
for (int i = h[u]; ~i;i = ne[i])
{
int v = e[i];
if (st[v])continue;
st[v] = true;
if (!match[v] || find(match[v]))
{
match[v]=u;
return 1;
}
}
return 0;
}
int main()
{
cin>> n1 >> n2 >> m;
memset(h, -1, sizeof h);
for (int i = 0; i < m; i ++ )
{
int a, b;
cin >> a >> b;
add(a, b);
}
int res = 0;
for (int i = 1; i <= n1; i ++ )
{
memset(st, 0, sizeof st);
res += find(i);
}
cout<< res ;
return 0;
}