定义：

数学上，高斯消元法（或译：高斯消去法），是线性代数规划中的一个算法，可用来为线性方程组求解。但其算法十分复杂，不常用于加减消元法，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。不过，如果有过百万条等式时，这个算法会十分省时。一些极大的方程组通常会用迭代法以及花式消元来解决。当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。高斯消元法可以用在电脑中来解决数千条等式及未知数。亦有一些方法特地用来解决一些有特别排列的系数的方程组。

本质：

用来化简一个阶梯式行列式，求出方程的解
线性方程组的情况：无解、有穷多个解和无穷个解

高斯消元法一般步骤（四大步）

1. 找主元：找到这一列绝对值最大的值
2. 交换：将该列最大的值交换到第r行
3. 归一：将第r行都除以a[r][c]进行归一
4. 消：化成上三角的形式

高斯-约当消元法

化成对角三角形：可以直接求解
不化成对角三角形可以返回自由元个数

自由元的作用

参考这张图（只有网址）
https://oi-wiki.org/math/gauss/#_11

基本模板

int gauss() {
    int c, r;
    for (c = 1, r = 1;c <= m && r <= n;c ++ ) {
        // 找主元
        int t = r;
        for (int i = r + 1;i <= n;i ++ )
            if (fabs (a[i][c]) > fabs (a[t][c]))
                t = i;
        if (a[t][i] < eps) continue; // 如果这一行最大为0,则自由元+1 -- 也就是r没有+1
        // 交换
        for (int j = c;j <= m + 1;j ++ ) swap(a[r][j], a[t][j]);
        // 归一
        for (int j = m + 1;j >= c;j -- ) a[r][j] /= a[r][c];
        // 消: 化成上三角
        for (int i = r + 1;i <= n;i ++ )
            for (int j = m + 1;j >= c;j -- )
                a[i][j] -= a[i][c] * a[r][j];
        r ++ ;
    }
    // r代表化成上三角后，当前行所处位置的下一行
    if (r <= n) {
        for (int i = r;i <= n;i ++ )
            if (a[i][m + 1]) return -1; // 0 != 0
    }

    return m - r + 1; // 返回自由元个数
}

异或形式：

int gauss() {
    int r, c;
    for (r = 1, c = 1;c <= m && q <= n;c ++ ) {
        // 找主元
        int t = r;
        for (int i = r + 1;i <= n;i ++ )
            if (a[i][c] > a[t][c])
                t = i;
        if (!a[t][c]) continue;
        // 交换
        for (int j = c;j <= m + 1;j ++ ) swap(a[r][j], a[t][j]);
        // 归一不需要，本身就是0或1
        // 消
        for (int i = r + 1;i <= n;i ++ )
            for (int j = m + 1;j >= c;j -- )
                a[i][j] ^= a[r][j] & a[i][c];
                // 相当于：if (a[i][c)) a[i][j] ^= a[r][j];
        r ++ ;
    }

    if (r <= n) {
        for (int i = 1;i <= n;i ++ )
            if (a[i][m + 1]) return -1;
    }
    return m - r + 1;
}

难点分析

如何将问题转换成高斯消元来求解，感觉还是得多练

参考：
1. 百度百科
2. https://blog.csdn.net/qq_46527915/article/details/117388486