数学知识之矩阵乘法

$矩阵乘法是一种高效的算法可以把一些一维递推优化到log(n)，是一种应用性极强的算法。$

$矩阵，是线性代数中的基本概念之一。$

$矩阵乘法可以解决从一个状态转换到另一个状态的动态规划问题$

$这里例举一个斐波那契数列求和的问题$

$第i个状态数组标识为$

$现有一个矩阵A[N][N]$

$能使F[i] 变换为 F[i+1]$
$f[i + 1] = f[i] \times 0 + f[i + 1] \times 1 + S[i] \times 0, 第一列[0,1,0]$
$f[i + 2] =f[i] \ times 1 + f[i + 1] \times 1 + S[i] \times 0, 第二列[1,1,0]$
$ S[i + 1] =f[i] \ times 0 + f[i + 1] \times 1 + S[i] \times 1, 第三列[0,1,1]$

$ A= \left\[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\\ 1 & 1 & 1 \\\ 0 & 0 & 1 \\\ \end{matrix} \right\] $

序列 乘 矩阵

$按照上列求出的A矩阵$

$依次求出每一个乘出来的值$

$F[i + 1][j] = \sum _{k = 0}^{k < N}F[i][k] \times A[k][j] (0 \leq j < n)$

$Code$

void mul(int c[N], int a[N], int b[N][N])
{
    int temp[N] = {0};
    for (int i = 0; i < N; i ++ )
        for (int j = 0; j < N; j ++ )
            temp[i] = (temp[i] + (LL)a[j] * b[j][i]) % m;

    memcpy(c, temp, sizeof temp);     
}

矩阵乘矩阵

$由于每次把一个序列和矩阵相乘,想要达到目标序列的时间复杂度是O(n)$

$因为每一次乘的矩阵都是常量, 所以可以用快速幂,来优化计算A^n,时间复杂度O(log_2n)$

$那么怎样才能把两个矩阵相乘呢?$

$矩阵相乘,设A \times B = C$

$那么序列F \times A \times B = F \times C$

$对于C中的每一个数C[i][j]表示F \times A \times B 的第j位数是有多少个F[i]组成的$

$在F \times A 中 的 每一位数AF[k] 中包含了 A[i][k]个F[i]$

$对于 每一位 AF[k] 包含的F[i] ,在ABF[j]中都贡献了 B[k][j]倍$

$那么C[i][j] = \sum _{k=0}^{k<N} A[i][k] \times B[k][j]$

$Code$

void mul(int c[N][N], int a[N][N], int b[N][N])
{
    int temp[N][N] = {0};
    for (int i = 0; i < N; i ++ )
        for (int j = 0; j < N; j ++ )
            for (int k = 0; k < N; k ++ )
                temp[i][j] = (temp[i][j] + (LL)a[i][k] * b[k][j]) % m;

    memcpy(c, temp, sizeof temp);   
}

$Code$

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = ;//...

int n, m;

void mul(int c[N], int a[N], int b[N][N])
{
    int temp[N] = {0};
    for (int i = 0; i < N; i ++ )
        for (int j = 0; j < N; j ++ )
            temp[i] = (temp[i] + (LL)a[j] * b[j][i]) % m;

    memcpy(c, temp, sizeof temp);     
}

void mul(int c[N][N], int a[N][N], int b[N][N])
{
    int temp[N][N] = {0};
    for (int i = 0; i < N; i ++ )
        for (int j = 0; j < N; j ++ )
            for (int k = 0; k < N; k ++ )
                temp[i][j] = (temp[i][j] + (LL)a[i][k] * b[k][j]) % m;

    memcpy(c, temp, sizeof temp);
}

void print()
{
    //...
}

int main()
{
    cin >> n >> m;

    int f[N] = {};//...
    int a[N][N] = {
        //...
    };

    n -- ;
    while (n)
    {
        if (n & 1)mul(f, f, a);
        mul(a, a, a);
        n >>= 1;
    }

    print();

    return 0;
}