关于最短路径的个人总结

1.dijkstra朴素算法

在算最短路径的时候可以用到的一个算法，常用于无负权边，稠密图，在朴素算法中用邻接矩阵来实现

时间复杂度为o(n^2)
算法思想：
每次找到一个最短路径的点，加入到已经确定的最短路径的集合中

实现过程：
通过n次遍历，每次加入一个点到最短路径的集合中，用st[N]来表示这个点是否存在集合中，找到不存在st中最短路径的点t中，把这个点放到st中，然后用t点的边 遍历更新所有点的距离

2.dijkstra堆优化算法

在算最短路径的时候可以用到的一个算法，常用于无负权边，稀疏图，在优化算法中用邻接表来实现

时间复杂度为o(nlngm)
算法思想：
每次找到一个最短路径的点，加入到已经确定的最短路径的集合中

为什么要用堆优化 ： 如果是稀疏图的话，点的数量超过了1e4，用邻接矩阵就会爆，用堆优化之后，每次只需要找到有过更新的点即可，在查找这个过程时间复杂度从o(n)变成了o(1)

实现过程：
先把源点以及源点的距离放进优先队列中，然后先弹出再遍历该点的所有边，得到距离最短的下一个点，然后再把该点放进队列中，由于优先队列中队头元素是距离最小的点，在每次遍历完最短路径的点的时候，队头就是我们要找的下一个最短路径的点，弹出即可。在这个过程中，st数组用来标记已经完成最小路径寻找的点

小根堆优先队列写法
typedef pair[HTML_REMOVED] pii;
priority_queue[HTML_REMOVED], greater[HTML_REMOVED]> q;

3.bellman-ford算法

如果边长为负数的时候，dijkstra算法就不行了，因为在dijkstra算法中如果边的数量增加，那么到这个点的距离必定会增加，就好比 1 -> 2 -> 3，如果变成了 1 -> 2 ->3 -> 4的话，距离是必定增加的，所以要用另一个方法去解决这个问题。
如果有行走的步数k次要求，那么可以用bellman-ford算法

时间复杂度o(nk)
算法思想：
遍历k次，每次更新最短边，在经过k此更新之后即可找到k次步数内走到target点的最短距离

4.spfa算法

如果为了寻找最短边，可以吧bellman-Ford算法中的k变成了n即可，但是问题也随之而来，如果n的数量级大于1e3，那么就非常容易爆数据，为了解决这个办法，我们用spfa算法实现

时间复杂度o(m),最坏o(nm);//m为边数
算法思想：
与dijkstra的堆优化思路有些类似，同样是用队列来实现，但是这个时候在队列中的元素是待确定的。先把源点入队，然后遍历源点的所有边，若是找到距离更新的点，则入队，在遍历完所有的边之后，就可以得到了最短路径长度。在这个时候st数组是用来标记是否在队列中

如果存在负权回路的话，要开一个cnt数组，去记录当前走的步数，如果一个点的步数超过n的话，根据抽屉原理，这个必定存在负权回路

关于spfa算法的补充：如果是无负边的图，数据量小的也可以用spfa算法过掉，比如在dijkstra I中，就可以用dijkstra算法解决该问题，只要数据量不超的情况下，最短路径问题可以用dijkstra算法解决

5.floyd算法

上述问题都是一源多汇的情况，如果是多源汇的情况，则需要用floyd算法

时间复杂度o(n^3)
算法思想：
经过三重遍历，dp思想，每次遍历经过一个点i的最短距离，遍历完后就可以得到整张图的最短距离
如第一次遍历完经过1点后，之后遍历经过2点时，如果需要经过1点的话，属于已经遍历完成的状态

代码实现：
for(int i=1;i<=n;i)
for(int j=1;j<=n;j)
for(int k=1;k<=n;k++)
g[j][k] = min(g[j][k] , g[j][i] + g[i][k] );