算法提高课DFS拓展总结

目录

1.AcWing 842. 排列数字

2.AcWing 843. n-皇后问题

3.AcWing 1024. 装箱问题题解

模块总结

总结（在本文，无超链接）暂未写

AcWing 842. 排列数字

给定一个整数 n，将数字 1∼n 排成一排，将会有很多种排列方法。

现在，请你按照字典序将所有的排列方法输出。

输入格式

共一行，包含一个整数 n。

输出格式

按字典序输出所有排列方案，每个方案占一行。

数据范围

1≤n≤7

输入样例：

3

输出样例：

1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1

思路

作者：三月的风
链接：https://www.acwing.com/solution/content/87387/
来源：AcWing
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

C++ 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=10;
int n;
int st[N];
int path[N];
void dfs(int u){
    if(u==n){
        for(int i=0;i<n;i++)
            printf("%d ",path[i]);
        puts("");
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(!st[i]){
            path[u]=i;
            st[i]=1;
            dfs(u+1);
            st[i]=0;
        }
    }
}
int main(){
    cin>>n;
    dfs(0);
    return 0;
}

AcWing 843. n-皇后问题

现在给定整数 n，请你输出所有的满足条件的棋子摆法。

输入格式

共一行，包含整数 n。

输出格式

每个解决方案占 n 行，每行输出一个长度为 n 的字符串，用来表示完整的棋盘状态。

其中 . 表示某一个位置的方格状态为空，Q 表示某一个位置的方格上摆着皇后。

每个方案输出完成后，输出一个空行。

注意：行末不能有多余空格。

输出方案的顺序任意，只要不重复且没有遗漏即可。

数据范围

1≤n≤9

输入样例：

4

输出样例：

.Q..
...Q
Q...
..Q.

..Q.
Q...
...Q
.Q..

思路

把题中条件改为两个皇后不能处于同一行、同一列或同一斜线上

C++ 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=20;
int n;
char g[N][N];
int col[N],dg[N],udg[N];

void dfs(int u){
    if(u==n){
        for(int i=0;i<n;i++)
            puts(g[i]);
        puts("");
        return; //回溯
    }
    for(int i=0;i<n;i++){ //按行枚举
        if(!col[i]&&!udg[u+i]&&!dg[n+i-u]){ //不在同一列，同一斜线
            g[u][i]='Q';
            col[i]=udg[u+i]=dg[n+i-u]=1;
            dfs(u+1);
            g[u][i]='.';
            col[i]=udg[u+i]=dg[n+i-u]=0;
        }
    }
}

int main(){
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
            g[i][j]='.';  //初始化
    dfs(0);
    return 0;
}

AcWing 1024. 装箱问题

有一个箱子容量为 V，同时有 n 个物品，每个物品有一个体积（正整数）。

要求 n 个物品中，任取若干个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。

输入格式

第一行是一个整数 V，表示箱子容量。

第二行是一个整数 n，表示物品数。

接下来 n 行，每行一个正整数（不超过10000），分别表示这 n 个物品的各自体积。

输出格式

一个整数，表示箱子剩余空间。

数据范围

0<V≤20000,
0<n≤30

输入样例：

24
6
8
3
12
7
9
7

输出样例：

0

思路

把V既当成背包容量，又当成权重

C++ 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=20010;
int n,m,v;
int f[N];
int main(){
    cin>>m;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>v;
        for(int j=m;j>=v;j--)
            f[j]=max(f[j],f[j-v]+v);
    }
    cout<<m-f[m]<<endl;
    return 0;
}

AcWing 278. 数字组合

给定 N 个正整数 A1,A2,…,AN，从中选出若干个数，使它们的和为 M，求有多少种选择方案。

输入格式

第一行包含两个整数 N 和 M。
第二行包含 N 个整数，表示 A1,A2,…,AN。

输出格式

包含一个整数，表示可选方案数。

数据范围

1≤N≤100,
1≤M≤10000,
1≤Ai≤1000,
答案保证在 int 范围内。

输入样例：

4 4
1 1 2 2

输出样例：

3

思路：

C++ 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=10010;
int n,m;
int v;
int f[M];

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    f[0]=1; //状态表示有改变
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&v);
        for(int j=m;j>=v;j--)
            f[j]+=f[j-v]; //更新方案数
    }
    cout<<f[m]<<endl;
    return 0;
}

8. 二维费用的背包问题

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包，背包能承受的最大重量是 M。

每件物品只能用一次。体积是 vi，重量是 mi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，总重量不超过背包可承受的最大重量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行三个整数，N,V,M，用空格隔开，分别表示物品件数、背包容积和背包可承受的最大重量。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,mi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积、重量和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N≤1000
0<V,M≤100
0<vi,mi≤100
0<wi≤1000

输入样例

4 5 6
1 2 3
2 4 4
3 4 5
4 5 6

输出样例：

8

思路：

二重循环，枚举背包二维费用即可

C++ 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010;
int n,V,M;
int v,m,w;
int f[N][N];

int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&V,&M);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d%d",&v,&m,&w);
        for(int j=V;j>=v;j--)
            for(int k=M;k>=m;k--) //枚举二维背包费用
                f[j][k]=max(f[j][k],f[j-v][k-m]+w);
    }
    cout<<f[V][M]<<endl;
    return 0;
}

AcWing 1022. 宠物小精灵之收服

宠物小精灵是一部讲述小智和他的搭档皮卡丘一起冒险的故事。

一天，小智和皮卡丘来到了小精灵狩猎场，里面有很多珍贵的野生宠物小精灵。

小智也想收服其中的一些小精灵。

然而，野生的小精灵并不那么容易被收服。

对于每一个野生小精灵而言，小智可能需要使用很多个精灵球才能收服它，而在收服过程中，野生小精灵也会对皮卡丘造成一定的伤害（从而减少皮卡丘的体力）。

当皮卡丘的体力小于等于0时，小智就必须结束狩猎（因为他需要给皮卡丘疗伤），而使得皮卡丘体力小于等于0的野生小精灵也不会被小智收服。

当小智的精灵球用完时，狩猎也宣告结束。

我们假设小智遇到野生小精灵时有两个选择：收服它，或者离开它。

如果小智选择了收服，那么一定会扔出能够收服该小精灵的精灵球，而皮卡丘也一定会受到相应的伤害；如果选择离开它，那么小智不会损失精灵球，皮卡丘也不会损失体力。

小智的目标有两个：主要目标是收服尽可能多的野生小精灵；如果可以收服的小精灵数量一样，小智希望皮卡丘受到的伤害越小（剩余体力越大），因为他们还要继续冒险。

现在已知小智的精灵球数量和皮卡丘的初始体力，已知每一个小精灵需要的用于收服的精灵球数目和它在被收服过程中会对皮卡丘造成的伤害数目。

请问，小智该如何选择收服哪些小精灵以达到他的目标呢？

输入格式

输入数据的第一行包含三个整数：N，M，K，分别代表小智的精灵球数量、皮卡丘初始的体力值、野生小精灵的数量。

之后的K行，每一行代表一个野生小精灵，包括两个整数：收服该小精灵需要的精灵球的数量，以及收服过程中对皮卡丘造成的伤害。

输出格式

输出为一行，包含两个整数：C，R，分别表示最多收服C个小精灵，以及收服C个小精灵时皮卡丘的剩余体力值最多为R。

数据范围

0<N≤1000,
0<M≤500,
0<K≤100

输入样例1：

10 100 5
7 10
2 40
2 50
1 20
4 20

输出样例1：

3 30

输入样例2：

10 100 5
8 110
12 10
20 10
5 200
1 110

输出样例2：

0 100

动态规划

(01背包问题) $O(nmk)$

C++ 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010,M=510;
int V1,V2,n;
int v1,v2;
int f[N][M]; //三维优化为二维，比普通01背包问题多开一维，即背包容量由一维变为两维

int main(){
    scanf("%d%d%d",&V1,&V2,&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d",&v1,&v2);
        for(int j=V1;j>=v1;j--)
            for(int k=V2-1;k>=v2;k--) //两层循环来枚举二维背包容量 //注意：皮卡丘体力背包容量这一维最大值是V2-1，而不是V2
                f[j][k]=max(f[j][k],f[j-v1][k-v2]+1);
    }
    cout<<f[V1][V2-1]<<' '; //V2-1

    int m=V2-1;
    while(m>0&&f[V1][V2-1]==f[V1][m-1]) m--; //V2-1
    cout<<V2-m<<endl;
    return 0;
}