算法提高课背包问题求具体方案总结

目录

详细题解

1.AcWing 12. 背包问题求具体方案题解

2.AcWing 423. 采药题解

3.AcWing 1024. 装箱问题题解

模块总结

总结（在本文，无超链接）暂未写

AcWing 12. 背包问题求具体方案

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出 字典序最小的方案。这里的字典序是指：所选物品的编号所构成的序列。物品的编号范围是 1…N。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一行，包含若干个用空格隔开的整数，表示最优解中所选物品的编号序列，且该编号序列的字典序最小。

物品编号范围是 1…N。

数据范围

0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 6

输出样例：

1 4

此问题是基于01背包问题求具体方案

思路

• 首先我们先按01背包问题正常思路，for两次循环（i从1~n,j从1~m），从小到大枚举每次状态。而这道题其实就是在走了路的基础上在回去找路。
• 显然，求具体方案一定是从最后一个（f[n][m]）往前推（这有点像数学归纳），就像闫氏DP法状态计算那样，因为最后一个才具有整体代表性。
• 从后往前推我们发现有以下可能：
  如果f(i,m)=f(i+1,m−v[i])+w[i]，说明选取了第i个物品可以得到最优解。
  如果f(i,m)=f(i+1,m)，说明不选取第i个物品才能得到最优解。
  如果f(i,m)=f(i+1,m)=f(i+1,m−v[i])+w[i]，说明选不选都可以得到最优解。
• 又因为题目需要字典序最小，所以我们希望在合法的前提下尽可能选取i小的作为具体方案，而不选i+1,因此在上一点中提出的三种情况中的情况3，我们应该选取第i个物品,并更新为f(i,m)=f(i+1,m−v[i])+w[i]。
• 为什么要倒着走路呢？很显然，因为要求字典序最小，我们需要从i=1开始计算，但问题是如果我们正着走（i从1~n）在i=1时我们并没有动（也就是路都还没走），那就必不可能找到路并记录下来，因此我们应先倒着走一遍路（i从n~1）后再回去找路，这样当我们按字典序最小要求从小开始枚举i=1时已经把路走完了，那我们就可以找到之前走到路并记录下来，f[1][m]也就为最终状态。而且正着走和倒着走对题目并没有影响，因为要求是权重最大，而且各个点权重固定，那么路一定是固定的。

C++ 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010;
int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N][N];

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d%d",&v[i],&w[i]);

    //从n~1开始枚举每一层
    for(int i=n;i>=1;i--)
        for(int j=1;j<=m;j++){
            f[i][j]=f[i+1][j];
            if(j>=v[i]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i+1][j-v[i]]+w[i]); 
        }

    //通过思路中的第3点来找走过的路
    int j=m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(j>=v[i]&&f[i][j]==f[i+1][j-v[i]]+w[i]){
            printf("%d ",i);
            j-=v[i];
        }
    return 0;
}

AcWing 423. 采药

辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。

为此，他想拜附近最有威望的医师为师。

医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。

医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

输入格式
输入文件的第一行有两个整数 T 和 M，用一个空格隔开，T 代表总共能够用来采药的时间，M 代表山洞里的草药的数目。

接下来的 M 行每行包括两个在 1 到 100 之间（包括 1 和 100）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

输出格式
输出文件包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

数据范围

1≤T≤1000,
1≤M≤100

输入样例：

70 3
71 100
69 1
1 2

输出样例：

3

思路

把题中时间T当成01背包问题体积V即可

C++ 代码

上面已经讲过了二维转一维的写法，下面题目就都只写优化后的了

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=110,M=1010;
int n,m,w,v;
int f[M];

int main(){
    scanf("%d%d",&m,&n);
    for(int i=0;i<n;i++){
        scanf("%d%d",&v,&w);
        for(int j=m;j>=v;j--)
            f[j]=max(f[j],f[j-v]+w);
    }
    cout<<f[m]<<endl;
    return 0;
}

AcWing 1024. 装箱问题

有一个箱子容量为 V，同时有 n 个物品，每个物品有一个体积（正整数）。

要求 n 个物品中，任取若干个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。

输入格式

第一行是一个整数 V，表示箱子容量。

第二行是一个整数 n，表示物品数。

接下来 n 行，每行一个正整数（不超过10000），分别表示这 n 个物品的各自体积。

输出格式

一个整数，表示箱子剩余空间。

数据范围

0<V≤20000,
0<n≤30

输入样例：

24
6
8
3
12
7
9
7

输出样例：

0

思路

把V既当成背包容量，又当成权重

C++ 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=20010;
int n,m,v;
int f[N];
int main(){
    cin>>m;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>v;
        for(int j=m;j>=v;j--)
            f[j]=max(f[j],f[j-v]+v);
    }
    cout<<m-f[m]<<endl;
    return 0;
}

AcWing 278. 数字组合

给定 N 个正整数 A1,A2,…,AN，从中选出若干个数，使它们的和为 M，求有多少种选择方案。

输入格式

第一行包含两个整数 N 和 M。
第二行包含 N 个整数，表示 A1,A2,…,AN。

输出格式

包含一个整数，表示可选方案数。

数据范围

1≤N≤100,
1≤M≤10000,
1≤Ai≤1000,
答案保证在 int 范围内。

输入样例：

4 4
1 1 2 2

输出样例：

3

思路：

C++ 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=10010;
int n,m;
int v;
int f[M];

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    f[0]=1; //状态表示有改变
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&v);
        for(int j=m;j>=v;j--)
            f[j]+=f[j-v]; //更新方案数
    }
    cout<<f[m]<<endl;
    return 0;
}

8. 二维费用的背包问题

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包，背包能承受的最大重量是 M。

每件物品只能用一次。体积是 vi，重量是 mi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，总重量不超过背包可承受的最大重量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行三个整数，N,V,M，用空格隔开，分别表示物品件数、背包容积和背包可承受的最大重量。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,mi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积、重量和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N≤1000
0<V,M≤100
0<vi,mi≤100
0<wi≤1000

输入样例

4 5 6
1 2 3
2 4 4
3 4 5
4 5 6

输出样例：

8

思路：

二重循环，枚举背包二维费用即可

C++ 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010;
int n,V,M;
int v,m,w;
int f[N][N];

int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&V,&M);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d%d",&v,&m,&w);
        for(int j=V;j>=v;j--)
            for(int k=M;k>=m;k--) //枚举二维背包费用
                f[j][k]=max(f[j][k],f[j-v][k-m]+w);
    }
    cout<<f[V][M]<<endl;
    return 0;
}

AcWing 1022. 宠物小精灵之收服

宠物小精灵是一部讲述小智和他的搭档皮卡丘一起冒险的故事。

一天，小智和皮卡丘来到了小精灵狩猎场，里面有很多珍贵的野生宠物小精灵。

小智也想收服其中的一些小精灵。

然而，野生的小精灵并不那么容易被收服。

对于每一个野生小精灵而言，小智可能需要使用很多个精灵球才能收服它，而在收服过程中，野生小精灵也会对皮卡丘造成一定的伤害（从而减少皮卡丘的体力）。

当皮卡丘的体力小于等于0时，小智就必须结束狩猎（因为他需要给皮卡丘疗伤），而使得皮卡丘体力小于等于0的野生小精灵也不会被小智收服。

当小智的精灵球用完时，狩猎也宣告结束。

我们假设小智遇到野生小精灵时有两个选择：收服它，或者离开它。

如果小智选择了收服，那么一定会扔出能够收服该小精灵的精灵球，而皮卡丘也一定会受到相应的伤害；如果选择离开它，那么小智不会损失精灵球，皮卡丘也不会损失体力。

小智的目标有两个：主要目标是收服尽可能多的野生小精灵；如果可以收服的小精灵数量一样，小智希望皮卡丘受到的伤害越小（剩余体力越大），因为他们还要继续冒险。

现在已知小智的精灵球数量和皮卡丘的初始体力，已知每一个小精灵需要的用于收服的精灵球数目和它在被收服过程中会对皮卡丘造成的伤害数目。

请问，小智该如何选择收服哪些小精灵以达到他的目标呢？

输入格式

输入数据的第一行包含三个整数：N，M，K，分别代表小智的精灵球数量、皮卡丘初始的体力值、野生小精灵的数量。

之后的K行，每一行代表一个野生小精灵，包括两个整数：收服该小精灵需要的精灵球的数量，以及收服过程中对皮卡丘造成的伤害。

输出格式

输出为一行，包含两个整数：C，R，分别表示最多收服C个小精灵，以及收服C个小精灵时皮卡丘的剩余体力值最多为R。

数据范围

0<N≤1000,
0<M≤500,
0<K≤100

输入样例1：

10 100 5
7 10
2 40
2 50
1 20
4 20

输出样例1：

3 30

输入样例2：

10 100 5
8 110
12 10
20 10
5 200
1 110

输出样例2：

0 100

动态规划

(01背包问题) $O(nmk)$

C++ 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010,M=510;
int V1,V2,n;
int v1,v2;
int f[N][M]; //三维优化为二维，比普通01背包问题多开一维，即背包容量由一维变为两维

int main(){
    scanf("%d%d%d",&V1,&V2,&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d",&v1,&v2);
        for(int j=V1;j>=v1;j--)
            for(int k=V2-1;k>=v2;k--) //两层循环来枚举二维背包容量 //注意：皮卡丘体力背包容量这一维最大值是V2-1，而不是V2
                f[j][k]=max(f[j][k],f[j-v1][k-v2]+1);
    }
    cout<<f[V1][V2-1]<<' '; //V2-1

    int m=V2-1;
    while(m>0&&f[V1][V2-1]==f[V1][m-1]) m--; //V2-1
    cout<<V2-m<<endl;
    return 0;
}