整数划分

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一个正整数 $n$ 可以表示成若干个正整数之和，形如：$n = n_1 + n_2 + … + n_k$，其中 $n_1 \ge n_2 \ge … \ge n_k, k \ge 1$。

我们将这样的一种表示称为正整数 $n$ 的一种划分。

现在给定一个正整数 $n$，请你求出 $n$ 共有多少种不同的划分方法。

输入格式

共一行，包含一个整数 $n$。

输出格式

共一行，包含一个整数，表示总划分数量。

由于答案可能很大，输出结果请对 $10^9 + 7$ 取模。

数据范围

$1 \le n \le 1000$

输入样例:

5

输出样例：

7

如何dp？

1. 集合：$f[i][j]$表示在1~i中选，加起来恰好是j的方案数

   很像完全背包，i是物品，j是体积

2. 集合属性：数量

3. 集合划分：

   集合划分也和完全背包相似，根据选几个第i个数（物品）划分

4. 状态计算
   方案总数就是把各种选法加起来
   因此，$f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i - 1][j - i] + f[i - 1][j - 2 * i] + …$①
   同理，$f[i][j - i] = f[i - 1][j - i] + f[i - 1][j - 2 * i] + …$②
   将②带入①中，得，$f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - i]$

   这里的化简和完全背包一模一样

   因此可以用滚动数组优化

码来！

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010, MOD = 1e9+7;
int f[N];
int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    f[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = i; j <= n; j++)
        {
            f[j] = (f[j] + f[j-i]) % MOD;
        }
    }
    printf("%d", f[n]);
    return 0;
}