代码源自常用代码模板1——基础算法

快排

void quick_sort(int q[], int l, int r)
{
    if (l >= r) return;

    int i = l - 1, j = r + 1, x = q[(l + r) / 2];
    while (i < j)
    {
        do i ++ ; while (q[i] < x);
        do j -- ; while (q[j] > x);
        if (i < j) swap(q[i], q[j]);
    }
    quick_sort(q, l, j), quick_sort(q, j + 1, r);
}

注意点：先划分再递归处理，划分标志可选取 l, r, (l+r)/2, rand。为避免死循环，递归处理时使用 j, j+1 时避免选择右边界，使用 i-1, i 时避免选择左边界。快排是不稳定排序，为实现稳定效果，可以为下标开一个数组，在比较时进行二元组的比较即可。

扩展——快速选择

//求最小的第k个数
int quick_sort(int q[], int l, int r, int k){
    if(l==r) return q[l];
    int i = l - 1, j = r + 1, x = q[(l+r)/2];
    while(i<j){
        do i++; while(q[i]<x);
        do j--; while(q[j]>x);
        if(i<j) swap(q[i], q[j]);
    }
    int s = j - l + 1;
    if(k<=s) return quick_sort(q, l, j, k);
    else return quick_sort(q, j+1, r, k-s);
}

归并排序

void merge_sort(int q[], int l, int r)
{
    if (l >= r) return;

    int mid = (l + r) / 2;
    merge_sort(q, l, mid);
    merge_sort(q, mid + 1, r);

    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    while (i <= mid && j <= r)
        if (q[i] <= q[j]) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
        else tmp[k ++ ] = q[j ++ ];

    while (i <= mid) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
    while (j <= r) tmp[k ++ ] = q[j ++ ];

    for (i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++ ) q[i] = tmp[j];
}

注意点：先递归处理再合并，划分标志取 (l+r)/2。需要开辟一个额外的数组空间。归并排序是稳定排序。

扩展——逆序对的数量

long long cnt = 0;
void merge_sort(int q[], int l, int r){
    if(l>=r) return;
    int mid = (l+r)/2;
    merge_sort(q, l, mid), merge_sort(q, mid+1, r);
    int i = l, j = mid + 1, k = 0;
    while(i<=mid&&j<=r){
        if(q[i]<=q[j]) tmp[k++] = q[i++];
        else{
            tmp[k++] = q[j++];
            cnt += mid-i+1;
        }
    }
    while(i<=mid) tmp[k++] = q[i++];
    while(j<=r) tmp[k++] = q[j++];
    for(int i=l, j=0;i<=r;i++, j++) q[i] = tmp[j];
}

二分

整数二分（由于需要考虑边界问题，划分为两个模板）

bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = (l + r + 1) / 2;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

注意点：二分一定有解，但求得的解不一定满足题目要求。有序一定可以二分，但可以二分不一定有序。
二分思想：找出满足与不满足要求的分界点。
使用方法：若解题思路满足二分思想，先找出题目对应的check函数，再根据如果某点满足要求时取 l = mid 还是 r = mid 选取对应的模板。

浮点数二分

double bsearch_3(double l, double r)
{
    const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求，比如题目要求保留4位小数，则此处我们取 e-6
    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

注意点：终止条件可以通过精度控制，也可以通过固定一个较大的循环次数。

高精度运算

大整数的存储：各数位逆序存储便于运算，使用vector
数值读入

    string x;
    cin >> x;
    vector<int> a;
    for(int i=x.length()-1;i>=0;i--) a.push_back(x[i] - '0');

数值输出(减法还需根据结果的正负以判断是否添加’-‘号)

    for(int i=c.size()-1;i>=0;i--) printf("%d", c[i]);

加法

// C = A + B, A >= 0, B >= 0
vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    if (A.size() < B.size()) return add(B, A);

    vector<int> C;
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < A.size(); i ++ )
    {
        t += A[i];
        if (i < B.size()) t += B[i];
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }

    if (t) C.push_back(t);
    return C;
}

减法

// C = A - B, 满足A >= B, A >= 0, B >= 0
vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    vector<int> C;
    for (int i = 0, t = 0; i < A.size(); i ++ )
    {
        t = A[i] - t;
        if (i < B.size()) t -= B[i];
        C.push_back((t + 10) % 10);
        if (t < 0) t = 1;
        else t = 0;
    }

    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    return C;
}

乘法

// C = A * b, A >= 0, b >= 0
vector<int> mul(vector<int> &A, int b)
{
    vector<int> C;

    int t = 0;
    for (int i = 0; i < A.size() || t; i ++ )
    {
        if (i < A.size()) t += A[i] * b;
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }

    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();

    return C;
}

除法

// A / b = C ... r, A >= 0, b > 0
vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r)
{
    vector<int> C;
    r = 0;
    for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i -- )
    {
        r = r * 10 + A[i];
        C.push_back(r / b);
        r %= b;
    }
    reverse(C.begin(), C.end());
    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    return C;
}

前缀和

一维数组

S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i]
a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1]

前缀和数组的初始化：S[i] = S[i-1] + a[i];

二维数组——子矩阵

S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]

前缀和数组的初始化：S[x, y] = S[x - 1, y] + S[x, y - 1] - S[x - 1, y - 1] + a[x, y];

差分数组

一维数组

给区间[l, r]中的每个数加上c：B[l] += c, B[r + 1] -= c

二维数组

给以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c：
S[x1, y1] += c, S[x2 + 1, y1] -= c, S[x1, y2 + 1] -= c, S[x2 + 1, y2 + 1] += c

差分数组的初始化只需在全零数组的基础上，将每一个元素的读入看作一次插入更新数组即可。
差分和前缀和互为逆运算，从差分数组还原出原数组——原数组的每一项相当于差分数组的前缀和。

双指针算法

for (int i = 0, j = 0; i < n; i ++ )
{
    while (j < i && check(i, j)) j ++ ;

    // 具体问题的逻辑
}

常见问题分类：
(1) 对于一个序列，用两个指针维护一段区间
(2) 对于两个序列，维护某种次序，比如归并排序中合并两个有序序列的操作

位运算

求n的第k位数字: n >> k & 1
返回n的最后一位1：lowbit(n) = n & -n

lowbit可用于计算n的二进制串中有几个”1”。

离散化

vector<int> alls; // 存储所有待离散化的值
sort(alls.begin(), alls.end()); // 将所有值排序
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());   // 去掉重复元素

// 二分求出x对应的离散化的值
int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置
{
    int l = 0, r = alls.size() - 1;
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (alls[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return r + 1; // 映射到1, 2, ..., n
}

用于在较大数据范围内仅使用较少数据的情况下，将这些数据映射到数组下标为1, 2, …, n的位置（由二分求出数据x对应的离散化的值，即数组下标）。

区间合并

// 将所有存在交集的区间合并
void merge(vector<PII> &segs)
{
    vector<PII> res;

    sort(segs.begin(), segs.end());

    int st = -2e9, ed = -2e9;
    for (auto seg : segs)
        if (ed < seg.first)
        {
            if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});
            st = seg.first, ed = seg.second;
        }
        else ed = max(ed, seg.second);

    if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});

    segs = res;
}

思路：按区间左端点排序，依次取出下一区间判断是否与当前区间相交——相交则合并；不相交则保存并更新当前区间。