2.4 堆

概念

• 本质为一颗完全二叉树
• 以小根堆为例，其每个结点的值，均小于等于左右子节点，即根节点为整棵树的最小值
• 支持操作
• 插入一个数
• 求集合中的最小值
• 删除最小值
• 删除任意一个元素
• 修改任意一个元素

操作思想

• 存储方式：用一维数组存储，设根节点的下标是i,则左儿子是2*i，右儿子是2*i+1

    //对无序的一维数组进行建堆(小根堆)
    for(int i=n/2;i;i--) down(i);  //n表示数组大小

• 排序：若某结点的值发生改变，则判断其与父节点和左右两个子结点的大小关系，再进行上移或下移，递归处理直至满足当前堆的性质。

• 以小根堆为例：若某一结点的值增大，则需要将其向下移动，直到不能下移为止。

• 删除和修改元素：将最后插入的元素覆盖掉需要修改的元素，之后从修改元素的位置重新对堆进行排序

模板(注释解析版)

//以小根堆为例

const int N=1e6+10;  //堆的大小

int idx,m;  //idx表示当前的结点在数组中的下标，m表示插入的第m个数

int h[N],ph[N],hp[N];
    //h[N]为堆 
    //ph[N]存储 第m个数 在h[N]中的下标  为idx 即ph[m]=idx
    //hp[N]存储 在h[N]中 下标为idx的数 为插入第m个数 即hp[idx]=m
    //由于我们在涉及到操作第m个元素时需要知道该元素是插入的第m个数，故需要p[h]和hp[N]的映射关系来确定

void h_swap(int a,int b){  //完成交换操作

    swap(ph[hp[a]],ph[hp[b]]);
    //通过hp[a]找到idx=a是插入的第m_i个数 ph[hp[a]]就可以得到其在h[N]中的下标
    //通过hp[b]找到idx=a是插入的第m_j个数 ph[hp[b]]就可以得到其在h[N]中的下标
    //交换idx的映射关系

    swap(hp[a],hp[b]);
    //交换m的映射关系

    swap(h[a],h[b]);
    //交换值
}

void down(int u){  //完成下移操作
    //u表示父结点

    int t=u;  //t用于比较
    int p=u*2;  //p表示左儿子节点的下标 p+1表示右儿子

    if(p<=idx&&h[p]<h[t]) t=p;  
    //p表示左儿子的下标，要在树的大小范围内，若左儿子小于父节点，则暂时记录t，最后与父节点u交换

    if(p+1<=idx&&h[p+1]<h[t]) t=p+1;
    //p+1表示右儿子的下标，要在树的大小范围内，若右儿子小于父节点，则暂时记录t，最后与父节点u交换

    if(t!=u){  //若t与原来的u不相等，说明u需要下移
        h_swap(t,u);  //交换
        down(t);  //递归处理，直到不能下移
    }

}

void up(int u){  //完成上移操作
    //u表示子结点

    int t=u>>1;  //t表示u的父结点的下标

    if(t&&h[u]<h[t]){  //当t>0并且子结点的值小于父结点的值，说明u要上移
        h_swap(t,u);  //交换
        up(t);  //递归处理，直到不能上移
    }

}

模板(简注释)

//以小根堆为例

const int N=1e6+10;  //堆的大小

int idx,m;  //idx表示当前的结点在数组中的下标，m表示插入的第m个数

int h[N],ph[N],hp[N];

void h_swap(int a,int b){
    swap(ph[hp[a]],ph[hp[b]]);  //交换idx的映射关系
    swap(hp[a],hp[b]);  //交换m的映射关系
    swap(h[a],h[b]);  //交换值
}

void down(int u){
    int t=u;
    int p=u*2;  //p表示左儿子节点的下标 p+1表示右儿子
    if(p<=idx&&h[p]<h[t]) t=p;
    if(p+1<=idx&&h[p+1]<h[t]) t=p+1;
    if(t!=u){
        h_swap(t,u);
        down(t);  //递归处理，直到不能下移
    }
}

void up(int u){
    int t=u>>1;
    if(t&&h[u]<h[t]){
        h_swap(t,u);
        up(t);  //递归处理，直到不能上移
    }
}

例题 839. 模拟堆

原题链接

描述

维护一个集合，初始时集合为空，支持如下几种操作：

I x，插入一个数 x；
PM，输出当前集合中的最小值；
DM，删除当前集合中的最小值（数据保证此时的最小值唯一）；
D k，删除第 k 个插入的数；
C k x，修改第 k 个插入的数，将其变为 x；
现在要进行 N 次操作，对于所有第 2 个操作，输出当前集合的最小值。

输入格式
第一行包含整数 N。

接下来 N 行，每行包含一个操作指令，操作指令为 I x，PM，DM，D k 或 C k x 中的一种。

输出格式
对于每个输出指令 PM，输出一个结果，表示当前集合中的最小值。

每个结果占一行。

数据范围
1≤N≤105
−109≤x≤109
数据保证合法。

输入样例：

8
I -10
PM
I -10
D 1
C 2 8
I 6
PM
DM

输出样例：

输出样例：

-10
6

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1e6+10;  //堆的大小

int idx,m;  //idx表示当前的结点在数组中的下标，m表示插入的第m个数

int h[N],ph[N],hp[N];

void h_swap(int a,int b){
    swap(ph[hp[a]],ph[hp[b]]);  //交换idx的映射关系
    swap(hp[a],hp[b]);  //交换m的映射关系
    swap(h[a],h[b]);  //交换值
}

void down(int u){
    int t=u;
    int p=u*2;  //p表示左儿子节点的下标 p+1表示右儿子
    if(p<=idx&&h[p]<h[t]) t=p;
    if(p+1<=idx&&h[p+1]<h[t]) t=p+1;
    if(t!=u){
        h_swap(t,u);
        down(t);  //递归处理，直到不能下移
    }
}

void up(int u){
    int t=u>>1;
    if(t&&h[u]<h[t]){
        h_swap(t,u);
        up(t);  //递归处理，直到不能上移
    }
}

int main(){
    cin>>n;
    while(n--){
        string op;
        int k,x;
        cin>>op;
        if(op=="I"){
            cin>>x;
            idx++,m++;
            ph[m]=idx,hp[idx]=m;  //记录映射关系
            h[idx]=x;  //在末尾插入x
            up(idx);  //上移x
        }
        else if(op=="PM"){
            cout<<h[1]<<endl;
        }
        else if(op=="DM"){
            h_swap(1,idx);  //将最后插入的数覆盖h[1]
            idx--;
            down(1);  //将改变后的h[1]下移
        }
        else if(op=="D"){
            cin>>k;
            k=ph[k];  //找到第k个数对应的idx
            h_swap(k,idx);  //将最后插入的数覆盖h[k]
            idx--;
            down(k);  //将改变后的h[1]下移或上移动，down(k)和up(k)只会执行其一
            up(k);
        }
        else{
            cin>>k>>x;
            k=ph[k],h[k]=x;  //找到第k个数对应的idx，并将h[k]改变为x
            down(k);  //将改变后的h[k]下移或上移动，down(k)和up(k)只会执行其一
            up(k);
        }
    }
    return 0;
}