调和平均数:

$H_n=\frac{n}{\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i}}=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+…+\frac{1}{x_n}}$

几何平均数:

$G_n=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x_i}=\sqrt[n]{x_1x_2…x_n}$

算术平均数

$A_n=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}=\frac{x_1+x_2+…+x_n}{n}$

平方平均数

$Q_n=\sqrt[]{\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}{n}}=\sqrt[]{\frac{x_1^2+x_2^2+…+x_n^2}{n}}$

关系:

$H_n<=G_n<=A_n<=Q_n$

条件:一正二定三相等

(1).函数的解析式中,各项为正数
(2).函数的解析式中,含变数的各项的和或积必须为一个定制
(3).函数的解析式中,含变数的各项均相等,取得最值

以下是证明(这里只证明几何平均数与算术平均数之间的关系,关于调和平均数与平方平均数的证明目前只在网上找到二元的,如果有哪位大佬有相关证明,烦请留言)

引理:$(A+B)^n>=A^n+nA^{n-1}B(A>=0,B>=0)$

证明:可以用数学归纳法证明,但是将二项式展开来看也是显然的
$(A+B)^n=C_n^{0}A^n+C_n^{1}A^{n-1}B+…+C_n^nB^n>=A^n+nA^{n-1}B$,当且仅当B=0时等式成立

使用数学归纳法证明$(G_n)^n<=(A_n)^n$:
当n=1时,显然成立；
设当n=k时命题成立,即$x_1x_2…x_k<=(\frac{x_1+x_2+…x_k}{k})^n$.令$s=a_1+a_2+…+a_k$,则$(\frac{s}{k})^{k}>=x_1x_2…x_k$.设$a_{k}=max(x_1,x_2,…,x_{k})$,则$na_k>=s$
则当,n=k+1时,$(\frac{x_1+x_2+…+x_{k+1}}{k+1})^{k+1}=(\frac{s}{k}+\frac{kx_{k+1}-s}{(k+1)k})^{k+1}$
由引理即k=n时的条件可知可知,$(\frac{s}{k}+\frac{kx_{k+1}-s}{(k+1)k})^{k+1}>=(\frac{s}{k})^{k+1}+(k+1)(\frac{s}{k})^{k}(\frac{kx_{k+1}-s}{k(k+1)})=(\frac{s}{k})^{k}x_{k+1}>=x_1x_2…x_{k+1}$,命题成立
综上可知,$G_n<=A_n$,当且仅当s=0且$x_1=x_2=..=x_n$时等号成立

吐槽一句:数学公式真难写,但是挺好玩的~哈哈