设 ϕ(N) 为欧拉函数,其值等于 1−N中所有与N互质的数的个数,则有:
若a与n互质,则a^{\phi(n)} \equiv 1(\mod n)
证明:设1-n中与n互质的数为:
k_1、k_2、k_3、…、k_{\phi(n)} \tag{1}
则序列:
ak_1、ak_2、ak_3、…、ak_{\phi(n)} \tag{2}
(1)和(2)在对n取模的条件下完全等价,只是顺序不同。
故分别将其相乘则有有:
k_1k_2k_3…k_{\phi(n)} \equiv a^{\phi(n)}k_1k_2k_3…k_{\phi(n)} (\mod n)
进一步变形得到:
a^{\phi(n)} \equiv 1 (\mod n) \tag{3}
其中当p为质数时,则有\phi(p) = p-1,代入等式(3)中可以得到费马小定理:
a^{p-1} \equiv 1 (\mod p), 其中a与p互质
费马小定理总算学会了