笔记汇总

描述

请证明一个 无限序列 的和等于 六分之 $π^2$

$\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + … = \frac{π^2}{6}$

证明

作为一道与 $π$ 有关的题，你会凭本能地想到这道题是否与 圆 有关。

而 平方的反比，会让你联系起冷僻的 倒数勾股定律 及 平方反比定律。

至此，你已经拥有了这道题所需的数学工具，接下来，请欣赏这美妙的数学海洋。

倒数勾股定律： 对于一个直角三角形，其 两直角边的反比 等于 二倍的底边上高的反比

平方反比定律： 从点源均匀扩散的三维物理量，外点强度等于到点源的 距离平方 的反比

让我们绘制一个直径为 $2$ 的圆，并建立坐标轴，

直径一点在坐标轴原点，并找到与坐标轴重合的直径另一端的点

因为圆的直径为 $\frac{2}{π}$，则其平方反比为 $\frac{π^2}{4}$

照上绘制一个直径为上一个圆 两倍 的圆，

并过 小圆 的顶端，作切线（一点含大圆直径），且垂直于原小圆所用直径，

切线交大圆圆边为两点，连两点至坐标轴原点，

由 倒数勾股定律 知其 平方反比和 为小圆顶端的 平方反比 的两倍。

同理绘制圆，记得每次绘制时所作切线都 垂直于 上一圆所用点的连线。

同时，一圆上相邻所用点（不算坐标轴原点）距离相等且为 $2$，

因为所用点对称且为上一次两倍。

由此，无限扩大这个圆，可以近似为一条数轴。

因为每一次操作都是 倒数勾股定律和平方反比定律 结合的等价变形。

所以此时答案依旧为 $\frac{π^2}{4}$，若将坐标轴原点看作 $0$，

则此式子等于 $… + \frac{1}{(-3)^2} + \frac{1}{(-1)^2} + \frac{1}{(1)^2} + \frac{1}{(3)^2} + … = \frac{π^2}{4}$。

取出我们所要的

$\frac{1}{(1)^2} + \frac{1}{(3)^2} + … = \frac{π^2}{8}$

但此时并没有包括偶数项，所以我们还要思考一下。

如果，你只考虑偶数项并重新求一次和，

这不就相当于考虑正整数项，每一项乘以 $\frac{1}{2^2}$

上面这步操作，只是简单的提取了公因式。

那奇数项呢，不就是 $1 - \frac{1}{4}$ 倍正整数项嘛。

你可能会问，为什么不是 $\frac{1}{2} ?$

那么，请先注意 所有正数中偶数项的和 $\frac{π^2}{16}$ 严格小于 $\frac{1}{1}$。

它们并不是相等的，所以要容差计算。

故而，我们得出答案 $\frac{π^2}{8} * \frac{4}{3} = \frac{π^2}{6}$

完结撒花 O(∩_∩)O哈哈~

结语

数无形时少直觉，形少数时难入微 ———— 华罗庚