笔记汇总
前言
通常，我们对事物的判断是 主观化的，只根据 片面的信息 就给出结论。
而这种判断，就是所谓的 非理性判断，
同样的，我们也可以给出 理性 的定义，即 认识到所有相关因素。
而所谓 贝叶斯定理 的根本结论就是，
一个新的因素 不能凭空决定 你当前的观点，而是更新 你的观点。
以上的结论，都是非常简单就能得出的，贝卡斯定理就是如此，
既能让小学生听懂，也能为几位研究的它的科学家带来了诺奖的荣誉。
那么，该如何表示呢？
贝叶斯定理
这是贝叶斯定理最基本的一个式子，
$P(a|b)$
即在 当前结论 $a$ 中 增加因素 $b$ 时 结论 $a$ 成立的可能性。
注意，这里先假设 $a$ 一定成立，且用的不是 $P(a), P(b)$
而这个公式的英译，就是 可能性，其值通常为一个 小于 $1$ 的分数。
而 $a, b$ 代表的则是一个集合，所以，也支持集合论中的计算。
而这个定理的计算公式就是
$P(a|b) = \frac{P(a)P(b|a)}{P(a)P(b|a) + P(\lnot a)P(b|\lnot a)}$
在分母中左边的一个式子代表 假设成立的可能性。
而右边的式子代表 假设不成立的可能性。
综合起来，就是 所有可能性 中 成立可能性 占比多少。
然后理解一下，为什么这些式子能够表示这种可能性，
首先让我们来 证伪 一个简单诱人的式子：
$P(a)P(b|a) = P(a)P(b)$
显然，右边的形式要简洁优美许多，在 抛硬币、扔筛子 一类操作的计算中，甚至是正确的。
但其实，它是错的，因为它并没有考虑到 集合的相关性。
而这个 相关性，就是用之前所说的公式计算（和 可能性 无关）
由生物学的知识，我们知道，兄弟之间患有同一种遗传病的概率较大。
如果是用 $P(a)P(b)$ 来表示兄弟二人患有同一种遗传病的话，是 不符合相关性的。
所以 $P(b)$ 要写成 $P(b|a)$，即如果兄弟患了遗传病的患病可能性。
你发现兄弟患不患病，会影响你患不患病的概率，这就是相关性。
现在，来抽象理解一下，我们先创立一个 正方形的概率空间，
以可能性 $P(a)$ 作为其空间内符合 条件约束 的状态的宽。
其否命题（也可以写作集合论的取反） $P(\lnot a)$ 为 概率空间宽 减去 上面状态的宽。
以可能性 $P(b)$ 作为其空间内符合 条件约束 的状态的长。
因为 $a, b$ 之间有相关性，又则对于 $a$ 正集和反集 的限制可能不同。
又因为 $b$ 假设中是算的它成立的概率，但 $a$ 不一定。
但我们真正要求的是 $b$ 成立时，$a$ 成立的概率。
这意味着，$a$ 无论成不成立，概率都要被统计。
所以我们同时计算，
$a$ 成立时 $b$ 成立的概率 和 $a$ 成立和不成立时 $b$ 成立的概率 的比值即可。
因为 $b$ 恒定成立，$a$ 不然，故可以得出 上面的公式。
用图形抽象理解为，正集 与 反集 在 被限制后 之比。
同时可见其长 $b$，在不相关时相等，相关时不等。
而乘以长后的面积之比，就是其概率。
随感
为什么说上面的内容很好理解，
因为它们是 连续性 的，并没有进行过多的变换，
而只是 简简单单的将常识表达出来 而已，
但是，你很有可能依旧没懂，这恐怕得归罪于你大脑的直觉吧。
稍稍拓展一下
你可能已经发现了，贝叶斯定理实则是一个 关于比例的表述。
例如，人群的比例，面积的比例等等。
正如此，这个定理也可以推广到计算机中程序的执行等。
同时，贝叶斯定理也符合一个公式
$P(b)P(a|b) = P(a and b) = P(a)P(b|a)$
以上是指两个图形重叠的概率。
即，$P(b)$ 所代表的图形中 $b$ 满足时 $a$ 满足的概率 与
$P(a)$ 所代表的图形中 $a$ 满足时 $b$ 满足的概率 相等，
为什么不能写成
$P(b)P(a|b) = P(a)P(a|b)$ 呢？
因为前面的 $P(a)$ 是已经假定 $a$ 满足了的概率。
但后面有假定 $b$ 满足，但实则 $b$ 满足的概率压根没算。
即 只有宽，没有长，故而非正方形时是错误的。
用数值理解，就是 $a != b$ 时错误。
交换一下，就可以写成：
$P(a|b) = \frac{P(a)P(b|a)}{P(b)}$
所以可以得出
$P(b) = P(a)P(b|a) + P(\lnot a)P(b|\lnot a)$
即 $b$ 成立的概率 等于 $a$ 成立和不成立时 $b$ 成立的概率。
因为 集合 加上 其反集 为 全集，很好理解。
结语
好了，下一篇概率的文章，我们会讲一下香农的信息论，并引入 $Wordle$，
然后，就是期待已久的 $NOIWC$ 的 $T3$ 压轴了。
