1、快速排序

选取一个数 x，使得x左边小于x，右边大于x，
将一条线段分为多段， 一段一段的排序， 递归实现。

为什么x取中间？
x可以取任何数，但此处为方便取 l + r >> 1。

void quick_sort(int q[],int l, int r){
    if(l >= r) return;

    int i = l, int j = r + 1, x = q[l + r >> 1];

    while(i < j){
        do i ++;while(q[i] < x);
        do j --;while(q[j] > x);
        if(i < j) swap(q[i], q[j]);
    }
    quick_sort(q, l, j),quick_sort(q, j + 1, r); //继续递归左右两段序列
}

2、归并排序

1、取一个位置mid，在此断开
2、在断开位置，逐个比较序列大小，小了 i + +， 大了 j + +，直到某一个序列遍历结束
3、将两个序列合并为一个序列

void merge_sort(int q[] , int l, int r){
    if(l >= r) return;

    int mid = l + r >> 1;

    merge_sort(q , l , mid);
    merge_sort(q , mid + 1, r);

    int k = 0, i = l + 1, j = r;

    //排序
    while(i <= mid && j >= r){
        if(q[i] <= q[j]) int temp[k ++] = q[i ++];
        else temp[k ++] = q[j ++];
    }

     while (i <= mid) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];//存在排序完多出来一部分的序列
     while (j <= r) tmp[k ++ ] = q[j ++ ];

     for (i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++ ) q[i] = tmp[j]; //合并为一个序列
}

3、二分查找

前提：有序序列
1、需要一个“check”来判断mid是否符合某条件
2、分开区间， 可分为[l, mid],[mid+1,r] 或 [l, mid -1],[mid , r]
3、大于mid就在右边查找，小于mid就在左边查找

1) 整数二分

    int binary_seacrh(int l, int r){
        while(l < r)
        {
            int mid = l + r >> 1;
            if(...) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        return l;
    }

    int bsearch_2(int l, int r)
    {
      while (l < r)
         {
            int mid = l + r + 1 >> 1;
            if (...) l = mid;
            else r = mid - 1;
         }
        return l;
    }

2） 浮点数二分

bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

double bsearch_3(double l, double r)
{
    const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

4、高精度算法

1、思想是模拟竖式算法
2、注意一点要倒序存储各个字符串！！
3、前导0处理！！

1）、高精度加法

1、规定正数
2、处理好进位t，C存放t的个位，进位取t的十位
3、存在计算完，t还有剩余的情况，将多的t放到C中

vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B){
    if(A.size() < B. size()) return add(B,A);

    vector<int> C;

    int t = 0;

    for(int i = 0; i < A.size();i ++){
        t + = A[i];
        if(i < B.size()) t += B[i];
        C.push_back(t % 10);//十位储存到C中
        t /= 10;//进位取个位
    }
    if(t) C.push_back(t);
    return C;
}

2）、高精度减法

   vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int>)
    {
        vector<int> C;
        for(int i = 0, t = 0; i < A.size(); i ++){
            t = A[i] - t;
            if(i < B.size()) t-=B[i];
            C.push_back((t + 10) % 10);
            if(t < 0) t = 1;
            else t = 0;
        }

        while(C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();//处理前导0

        return C;
    }

3）、高精度乘法（只有一个是高精度数）

    vector<int> mul(vector<int> &A, int b){
        vector<int> C;

        int t = 0;
        for(int i = 0 ; i < A.size()|| t; i ++){
            if(i < A.size()) t += A[i] * b;
            C.push_back(t % 10);
            t /= 10;
        }

        while(C.size() > 1 && C.back()==0) C.pop_back;

        return C;
    }

4）、高精度除法

除法需要注意保存余数
算完需要将整个C reverse，处理前导0

    vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r){
        vector<int> C;
        r = 0;
        for(int i = A.size()-1; i >= 0 ; i --){
            r = r * 10 +A[i];
            C.push_back(r/b);
            r %= b;
        }
        reverse(C.begin(), C.end());
        while(C.size>1&&C.back()==0) C.pop_back();

        return C;
    }

5、前缀和

前缀和就是计算1~i的和
此算法有利于计算区间和

1）一维版

S[i] = a[1] + a[2]+...+a[i]
a[l]+...+a[r] = S[r] - S[l - 1]//区间和

2）二维

可以想象成计算矩阵某阴影面积，利用大减小，最后加上重复减去的面积
(x1,y1)左上角，(x2,y2)右下角

子矩阵的和： S[x2 , y2] - S[x1 - 1 , y2] -S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 -1]

6、差分

差分是前缀和的逆推

1）一维差分

初始状态下，a[]全为0，向
给[l,r]中每个数加上c： B[l] += c, B[r + 1]  -= c

2）二维差分

给以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c：
S[x1, y1] += c, S[x2 + 1, y1] -= c, S[x1, y2 + 1] -= c, S[x2 + 1, y2 + 1] += c

7、位运算

求n的第k位数字: n >> k & 1
返回n的最后一位1：lowbit(n) = n & -n

8、离散化

是一种特殊的哈希表
1、存在重复元素需要去重
2、关键在于，如何算出x，离散化后的值（二分查找）
3、需要保序，单调的

vector<int> alls; // 存储所有待离散化的值
sort(alls.begin(), alls.end()); // 将所有值排序
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());   // 去掉重复元素

int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置
{
    int l = 0, r = alls.size() - 1;
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (alls[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return r + 1; //从0开始就r，从1开始就r+1
}

9、区间合并

利用pair来将绑定左右端点
1、 按区间左端点排序
2、维护区间[st,ed]
3、first存放左端点，second存放右端点

void merge(vector<PII> &segs)
{
    vector<PII> res;//存放合并后的结果

    sort(segs.begin(), segs.end());//先将区间排序，pair优先以左端点排序

    int st = -2e9, ed = -2e9;//开始区间是负无穷到正无穷
    for (auto seg : segs)
        if (ed < seg.first)//维护区间，严格在枚举区间的左边，无交集
        {
            if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});
            st = seg.first, ed = seg.second;
        }
        else ed = max(ed, seg.second);//有交集，求并集，右端点更新值最大值

    if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});//防止数组为空

    segs = res;
}