🎈组合数

一、公式递推法（懒人必备法）

时间复杂度 O(n^2) 空间复杂度 O(n^2).
适用于 “小规模”、“小范围” 的求法

公式：C(a,b) = C(a-1,b) + C(a-1,b-1)

for(int i = 0; i <= n; ++ i)
    for(int j = 0; j <= i; ++ j)
        if(!j) f[i][j] = 1;
        else f[i][j] = f[i-1][j-1]+f[i][j-1];

二、预处理法

时间复杂度 O(nlogp) 空间复杂度 O(n).
适用于 “中小规模” 、”中小范围” 的求法

公式：C(a,b) = a! / ( b! * (a-b)! ) = a! * b!^-1 * (a-b)!^-1

⭐  一般情况下，当模的数p为质数时，根据费马小定理求逆元。
    费马小定理: p^a-1 ≡ 1( mod p )

typedef long long ll;
int fact[N],infact[N];
//定义

int inv(int a,int x,int p)//快速幂求逆元
{
    int res = 1;
    while(x)
    {
        if(x&1) res = (ll) res * a % p;
        a = (ll) a*a%p;//(ll)
        x>>=1;
    }
    return res;

}
int main()
{
    fact[0] = infact[0] = 1;

    for(int i = 1;i<N;i++)
    {
        fact[i] = (ll) fact[i-1]*i%p;
        infact[i] = (ll) infact[i-1]*inv(i,p-2,p)%p;
    }//预处理阶乘值，和逆元。

    printf("%d\n",(ll) fact[a]*infact[b]%p*infact[a-b]%p);//输出结果
}

三、Lucas定理

处理大概 p 在 1e5 内的数据量 a,b不限量，但是只能计算20组左右的 数据

适用于 大范围，小个数 的求法

⭐  本解法用Lucas公式，缩短了所求的范围，然后用预处理的方法求解。

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
int p;
int fp(int a,int x)//快速幂
{
    int res = 1;
    while(x)
    {
        if(x & 1) res = (ll) res * a % p;
        a =(ll) a*a%p;
        x>>=1;
    }
    return res;
}
int C(int a,int b)//预处理阶乘，逆元。
{
    int res = 1;
    for(int i = 1,j = a;i<=b;i++,j--)
    {
        res = (ll) res * j % p;
        res = (ll) res * fp(i,p-2) % p; 
    }
    return res;
}
int lucas(ll a,ll b)//Lucas定理
{
    if(a<p && b<p) return C(a,b);//第一种情况比p小，所以直接输出。
    return (ll) C(a%p,b%p) * lucas(a/p,b/p) %p;
}
int main()
{
    ll a,b;
    cin>> a >> b >> p;
    cout<<lucas(a,b)<<endl;
}

公式原理法

 C(a,b) 利用手推的公式来进行，模拟手推计算。适合于b比较小的情况。