笔记汇总

在中学时期，我们就已经接触了 球体表面积的公式

即 以 $R$ 为半径的球体表面积 = 四倍相等半径圆的面积 $4πR^2$。

因为此证明需要用到微积分，故在中学接触时，多数同学并不具备解决此类问题的数学素养。

但如果弃之不管，心中却总像有个疙瘩，那让我们来尝试证明吧！

证明过程

因为，平面上圆的曲率与球面的三维曲率不同，所以我们无法直接延伸。

换句话说，这就像用切割法求圆周率一样，是永远割不尽的，

所以只能先将球面本身看作一个 无限细分 的棱体，

而我们要做的就是计算这个棱体的表面积。（在此棱体近似等价于球体）

首先将球体展开成一个同半径同高的圆柱，

则球体上的任意一点都可以投影到圆柱上不冲突的一点。

如果将球体看作棱体，则一点可以扩成一个棱体表面的小长方形。

而这个小长方形在圆柱上投影时，其 长变化量 恰好与 宽变化量 相冲。

想证明这一点，需要我们将球体按直径切开，并在过球体表面作一切线。

在切线上交点作垂直于正轴半径的垂线交下交点的垂线得一直角三角形。

并反向延长下交点上的垂线，垂直于正轴半径，

并过圆心作垂直于切线下交点的垂线，同样得到一直角三角形。

通过两次 $k$形全等 可证近似，有因为小直角三角形恰好是长投影的变化量。

由此可知在圆柱上投影的长和球体上的原长之间的比值。

注意，我们已经知道了圆柱的 “半腰围” 等于球体的 半径。

若链接圆心和小长方形下面的两底角构成等腰三角形，并延伸投影到圆柱上。

顶角相等，亦为近似，更重要的是，其（宽）比值恰好为长比值的倒数。

又因为，圆柱展开后的长方形，面积恰好等于四个圆的面积。

当然，抽象理解时，确定圆宽为半径，圆周长为直径，

宽和圆周长间的函数为 正比例函数，故可看作一三角形，贴合后，恰好拼接为一长方形。