动态规划

从集合的角度理解
1. 状态表示 f(i, j)
- 集合：只考虑前i个物品并且总体积<=j的所有选法
- 属性：Max + Min + 数量
2. 状态计算——集合划分（不含i， 含i）
画出面包图，表示出可能的各种状态
分析方法：先不考虑第 i 件物品，变为 f(i-1, j)和f(i -1, j - vi) + wi

背包问题

01背包

每个物品用一次

滚动数组优化：（原因）
- f(i)只用到了f(i - 1)，所以可以把前面的都省掉，只看j
- 体积 j - v[i] <=j——>01背包倒序求，防止重复取用

完全背包

每个物品无限个
属性：（Max)
1. 去掉k个i
2. 求Max，f[i - 1, j - k * v[i]]
3. 加上k个i
f[i, j] = max( f[i - 1, j - v[i] * k] + w[i] * k) ;

优化：进行一个对齐的操作
顺序：小——>大

多重背包

每个物品有限定个
f[i, j] = max( f[i - 1, j - v[i] * k] + w[i] * k) ;
二进制分组优化
打包
1. 1,2,4,8,…,2^k^,c （c < 2^{k+1}^)

（滑动窗口最大值：单调队列优化）

分组背包

i个——>i组

线性DP

维度升序考虑

最长上升子序列

集合：所有以第 i 个数结尾的上升子序列
属性：Max
$$ a_j = Max(f[j] + 1)\\ 满足a_j < a_i,j = 0,1,2,…,i-1 $$
保存序列：记录转移过程
优化：存结尾最小的上升子序列
因为小的末尾一定可以接到大的头上
二分找（其实STL也很好）

最长公共子序列

集合：所有再第一个序列的前 i 个字母中出现，且再第二个序列的前 j 个
分三种状况分析，一个不等2，两个都等1

dp[i][j] = max (dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
            if(a[i] == b[j])
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;

最短编辑距离

集合：所有将a变成b的操作方式
状态计算：
- 删：f(i-1, j) + 1
- 增：f(i, j-1) + 1
- 改：f(i-1, j-1) + (a[i] != b[j]) （不等就要加一次
f(i, j) = min(删，增，改)

区间DP

集合：所有将第 i 堆石子合并为一堆石子的合并方式
属性： Min
过程分析：
（最后一步）最后的合并代价 + 前缀和求所有质量之和
$$ f[i][j] = min( s[j] - s[i -1] + f[i, k] + f[k +1, j]) $$
枚举长度、起点、分界点k

计数DP

整数划分

1. 完全背包做法
   关键在于抽象转化
   集合：1~i 选，体积恰好是 j 的数量
2. 其他
   集合：总和为 i ，总个数为 j

数位统计DP

count(n, x) : 1 ~ n 中 x 出现的次数
来自wx大佬：

状态压缩DP

蒙德里安的梦想

横着放完，竖的就自然出来了
f[i][j] : 前 i -1 列已经摆好，从i - 1列伸出到第 i 列的所有方案的状态（ j 记录哪些列伸出了横向方格）（二进制表示）

i 表列，j、 k 表行
f[i, j] += f[i - 1, k]
满足条件：
1. (j & k) == 0 （没冲突）
2. j | k 不存在连续奇数个0 （没空隙）

纵向看，必须要有连续偶数个空位（用来放置竖的方块）

最短Hamilton路径

• f[i][j]：所有从0走到 j ，走过的所有点是 i 的所有路径
• 0—…—>k—> j
  f[i - (1 << j)][k] + w[k][j]

i >> j & 1 代表 j 在 i 状态里
i - (1 << j) 代表 除去 j 这个状态

树形DP

经典老题：没有上司的舞会
（某人因为root搞错）
建议看我的视频（最好别hhh
https://www.bilibili.com/video/BV1wL411w7t1?spm_id_from=333.999.0.0

记忆化搜索

经典老题：滑雪