算法基础课 第四讲 数学知识——欧拉函数

定义：

在数论，对正整数$ n $,欧拉函数是小于等于$ n $的正整数中与$ n $互质的数的数目.
一组数$ x_1,x_2......x_s $称为是模$ m $的既约剩余系(简称缩系),如果对$ \forall j $,$ s\in\mathbb{Z} $, $i ≤ j ≤ s $,$(x_j, m) = 1$,并定义$ \varphi(m) = s $,即$ {1,2…m} $中与$ m $互素的数的个数,$ \varphi(m) $为欧拉函数.


[注：以上截图来源于欧拉函数_百度百科]

求欧拉函数

模板题 AcWing 873. 欧拉函数

int phi(int x)
{
    int res = x;
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
        if (x % i == 0)
        {
            res = res / i * (i - 1);
            while (x % i == 0) x /= i;
        }
    if (x > 1) res = res / x * (x - 1);

    return res;
}

筛法求欧拉函数

模板题 AcWing 874. 筛法求欧拉函数

int primes[N], cnt;     // primes[]存储所有素数
int euler[N];           // 存储每个数的欧拉函数
bool st[N];         // st[x]存储x是否被筛掉


void get_eulers(int n)
{
    euler[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (!st[i])
        {
            primes[cnt ++ ] = i;
            euler[i] = i - 1;
        }
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
        {
            int t = primes[j] * i;
            st[t] = true;
            if (i % primes[j] == 0)
            {
                euler[t] = euler[i] * primes[j];
                break;
            }
            euler[t] = euler[i] * (primes[j] - 1);
        }
    }
}

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