二分的本质并不是单调性。(有单调性一定可以二分,二分不一定有单调性)
二分的本质是边界:只要找到某种性质,使得整个区间一分为二,那么就可以用二分把边界点二分出来。
1.整数二分
bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质
// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用:
int bsearch_1(int l, int r)
{
while (l < r)
{
int mid = l + r >> 1;
if (check(mid)) r = mid; // check()判断mid是否满足性质
else l = mid + 1;
}
return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用:
int bsearch_2(int l, int r)
{
while (l < r)
{
int mid = l + r + 1 >> 1;
if (check(mid)) l = mid;
else r = mid - 1;
}
return l;
}
当更新方式为 l=mid 时,用模板2,mid = l + r + 1 >> 1,向上取整。
注:循环结束时,l 和 r 是相等的
2.浮点数二分
bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质
double bsearch_3(double l, double r)
{
const double eps = 1e-6; // eps 表示精度,取决于题目对精度的要求
while (r - l > eps)
{
double mid = (l + r) / 2;
if (check(mid)) r = mid;
else l = mid;
}
return l;
}
while (r - l > eps)也可以直接循环100次for(int i=0;i<100;i++)