3.7 浮点数的加减运算
一、 规格化浮点数的概念
由于浮点数是将数据的表示范围与精确度分别表示的数据表示方法，若不对浮点数的表示做出明确规定，同一个浮点数的表示就不唯一；
规格化浮点数就是指把一个浮点数按照指定的格式进行转换；
以一般个数浮点数为例，补码形式的规格化浮点数的尾数形式为：
$00.1xx…xx$ 或者 $11.0xx…xx$
二、浮点数规格化的方法
如果尾数结果为$00.0xx…xx$或者$11.1xx…xx$, 则需要将尾数左移，每移动一次，阶码就减一，直到尾数形式为$00.1xx…xx$或者$11.0xx…xx$;
如果尾数的结果为$01.xx…xx$或者$10.xx…xx$, 出现这两种情况说明尾数数位发生了溢出, 尾数求和的结果大于$1$，此时仅需要执行一次算数右移（算术右移会拷贝符号位），阶码加$1$，尾数形式即为$00.1xx…xx$或者$11.0xx…xx$;
三、浮点数加减运算及步骤
设$X = 2^{E_x} * M_x, Y = 2 ^ {E_y} * M_y$
则：$x + y = (2 ^ {E_x - E_y} * M_x + M_y) * 2 ^ {E_y}\ \ \ (E_y >= E_x)$
步骤：
1、 对阶 （算式中提出大的阶码）
- 求阶差 （求出差后就能够直到两个阶码谁大谁小了）
- 右移阶码小的浮点数的尾数并同步增加其阶码，直至两数阶码相同
2、尾数加/减
对尾数做加/减运算（用对阶后的尾数）
3、结果规格化
4、舍入
右移规格化时可能会丢失一些低位的数位值，为提高精度，采取舍入的方法：（有两种方法）
- $0$舍$1$入： 若右移出的是$1$则在最低位加$1$；
- 恒置$1$： 只要数字位$1$被移掉，就将最后一位恒置为$1$；
5、溢出处理
浮点数是阶码决定数据的范围，因此浮点数的溢出是以阶码的溢出做为标志的；
当阶码的符号位变为$01$的时候出现的是阶码上溢；
当阶码的符号位变成$10$的时候出现的是阶码下溢；
例题：
设$X = 2 ^ {010} * 0.11011011, Y = 2 ^ {100} * (-0.10101100)$, 求$X + Y$的值；
首先先用补码形式表示X和Y：
$[X]_补 = 00\ 010,\ 00.11011011$ (双符号表示)
$[Y]_补 = 00\ 100,\ 11.01010100$
第一步，对阶：
先做减法找较大的阶数；
$[E_X]_补 + [-E_Y]_补 = 00\ 010 + 11\ 100 = 11\ 110$
符号位为$11$，差值为负数，所以$X$的阶码小于$Y$的阶码；
将X的尾数右移两位，同时阶码加$2$，对阶后$X$变为：
$[X]_补 = 00\ 100,\ 00.0011011011$
第二步，尾数运算：
将对阶后的尾数相加：
$00.\ 00110110\ 11 + 11.\ 01010100 = 11.\ 10001010\ 11$
第三步，计算结果规格化：
将计算结果变成$11.0xx…xx$的格式，只需要左移一次，同时阶码减一 ($00\ 100$变为了$00\ 011$);
$[X + Y]_补 = 00\ 011,\ 11.00010101\ 1$
第四步，舍入：（这里采用$0$舍$1$入的方法）
结果尾数多了一位$1$要被舍去，因此最低位加一；
最终结果为：
$[X + Y]_补 = 00\ 011,\ 11.00010110$
$X + Y = 2^{011} * (-0.11101010)$
