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3.4 补码一位乘法

一、补码一位乘法

设$[X]_补 = X_0X_1X_2…X_n， [Y]_补 = Y_0Y_1Y_2…Y_n$

可以证明： (证明以后补QAQ)

$[X * Y]_补 = [X]_补 * （0.Y_1Y_2…Y_n） - Y_0 * [X]_补$

展开合并后有：

$[X ∗ Y]_补 = [X]_补 ∗ ∑(Y_{n+1}−Y_n) * 2^{-n}$ （对补码乘法来说，符号位参加运算，这区别于原码一位乘法）

看求和中的括号部分，也就是说我们到底是加上$X_补$还是减又或者是$0$，就看相邻两位的差值；
因为乘数寄存器每一次操作也会右移（将相邻的两位变为倒数第一位和倒数第二位），这样也就是看倒数第二位的值于倒数第一位的差值。

也就是说：

在遵循原码乘法的规则上，对部分积的加减做处理

1、$Yn=Yn+1$ ，那么部分积加上零（$0*[X]_补$当然是零啦)，再右移一位

2、$Yn <Yn+1（01）$，部分积加上$[x]_补$，再右移一位

3、$Yn >Yn+1（10）$，部分积加上$[-x]_补$，再右移一位

可以发现，补码乘法涉及对$0、[x]_补、[-x]_补$三个数的运算

注意事项：

1、对于第一次运算$i = n$时，$Y_{n+1} = 0$

2、由于会有$Y_{n+1}$，所以在乘数寄存器$Y$后需要增加一位

3、每次计算乘数寄存器和部分积均右移（在乘数寄存器中是逻辑右移，而在部分积中是算术右移， 注意区分算术右移和逻辑右移的区别）

例如：

图中的部分积使用双符号位表示，部分积的结果会移动到乘数寄存器中；