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3.3 原码一位乘法

一、移位操作及其意义

逻辑/算数左移：数据整体左移一位，最高位移出到进位位，最低位补零；
算数左移有对数据乘2的意义；

逻辑右移：数据整体右移一位，最高位移除寄存器，最高位补零；
算数右移：数据整体右移一位，移位前最高位被复制填补移位后的最高位，最低位被移出；
（如算数移位前：$11101110$，算数移位后： $11110111$）

算数右移相当于数据除2；

二、二进制乘法的手工计算

（1） 乘法可以由加法实现

如：

            0 0 1 0 
        ×   0 1 0 1 
----------------------
            0 0 1 0 
          0 0 0 0 
        0 0 1 0 
  +   0 0 0 0 
---------------------- 
      0 0 0 1 0 1 0 

存在的问题：

需要多输入的全加器（来计算纵向的累加和得到每一数位的值，最多需要$n+1$位）

对应乘数的不同位，部分积左移次数不同，且乘法过程中总位移次数多（每一个部分积相对于上一个部分积都有一个左移操作）

需要长度为$2\*n$的积寄存器 （乘积的结果最多为$2*n$位）

(2)改进方法

    0 0 1 0
×   0 1 0 1 （乘数每一次计算也要右移）
----------
    0 0 1 0 (右移一位)
      0 0 1 0 
+   0 0 0 0
----------
    0 0 0 1 0 (右移一位)
      0 0 0 1 0
+   0 0 1 0
-----------
    0 0 1 0 1 0 (右移一位)
      0 0 1 0 1 0
+   0 0 0 0 
-----------
    0 0 0 1 0 1 0

在改进的方法中：

对于每一位的乘法，基于FA的循环累加0或者被乘数；（这样就不用$n+1$位的全加器了）

每一次右移乘数，这样只用取第一位做乘法就行了；每一次右移部分积，移出数位的部分用乘数寄存器存储起来；

长度为$2*n$的结果被分段保存，一部分在部分积中，另外一部分被存放在了乘数寄存器中；

三种改进措施分别对应解决三个存在的问题

三、原码一位乘法运算；

符号单独参加运算，数据位取绝对值参加运算；

运算法则：

设：$[X]_原 = X_0X_1X_2…X_n, [Y]_原 = Y_0Y_1Y_2…Y_n$

则答案符号位$P_0 = X_0 \bigoplus Y_0, |P| = |X| × |Y|$

例如：

已知$X = 0110, Y = -0101$, 求 $X * Y$

$[X]_原 = 0.110， [Y]_原 = 1.101$

符号位$P_0 = 0 \bigoplus 1 = 1$

    0 1 1 0
×   0 1 0 1  （取绝对值相乘）
------------
    0 1 1 0
      0 1 1  （右移一位）
+   0 0 0 0  
------------
    0 0 1 1 
      0 0 1  （右移一位）
    0 1 1 0 
------------
    0 1 1 1  （此时乘数寄存器中为10)

所以答案为$1.011110$ (首位$1$为符号位，答案由部分积和乘数寄存器中数拼成)