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在一个 $3×3$ 的网格中，$1 \\sim 8$ 这 $8$ 个数字和一个 X 恰好不重不漏地分布在这 $3×3$ 的网格中。

例如：

1 2 3
X 4 6
7 5 8

在游戏过程中，可以把 X 与其上、下、左、右四个方向之一的数字交换（如果存在）。

我们的目的是通过交换，使得网格变为如下排列（称为正确排列）：

1 2 3
4 5 6
7 8 X

例如，示例中图形就可以通过让 X 先后与右、下、右三个方向的数字交换成功得到正确排列。

交换过程如下：

1 2 3   1 2 3   1 2 3   1 2 3
X 4 6   4 X 6   4 5 6   4 5 6
7 5 8   7 5 8   7 X 8   7 8 X

把 X 与上下左右方向数字交换的行动记录为 u、d、l、r。

现在，给你一个初始网格，请你通过最少的移动次数，得到正确排列。

输入格式

输入占一行，将 $3×3$ 的初始网格描绘出来。

例如，如果初始网格如下所示：

1 2 3 
x 4 6 
7 5 8

则输入为：1 2 3 x 4 6 7 5 8

输出格式

输出占一行，包含一个字符串，表示得到正确排列的完整行动记录。

如果答案不唯一，输出任意一种合法方案即可。

如果不存在解决方案，则输出 unsolvable。

输入样例：

2  3  4  1  5  x  7  6  8

输出样例

ullddrurdllurdruldr

思路

$\text{A*}$ 是什么？其实就是加了启发式剪枝的 $\text{BFS}$。

什么叫启发式剪枝？启发式剪枝，是一种估算当前状态到终点状态所需的步数，我们称估算的方法为估价函数。我们设当前点为 $u$ ，已经走了 $f(u)$ 步，估价函数为 $h(u)$，实际 $u$ 到终点的距离为 $g(u)$，则必须满足以下性质：$h(u)\le g(u)$，所以我们要以 $f(u)+h(u)$ 为关键字进行排序。（有点像堆优化的 $\text{Dijkstra}$）

证明：$h(u)\le g(u)$。
若 $h(u)>g(u)$ 则不能保证 $dist_{end}\le dist_{best}$。
证明：终点第一次算出来的结果为最优值。
假设终点第一次出堆时不是最小值，那么意味着 $dist_{end} > dist_{best}$。
那么说明堆中存在一个最优路径中的某个点（起码起点在路径上），记该点为 $u$，
$dist_{best} = dist_u + g(u) >= dist_u + f(u)\Longrightarrow dist_{end} > dist_{best} >= dist_u + f(u)$,说明优先队列中存在一个比出堆元素更小的值，这就矛盾了。
所以说终点第一次出堆时就是最优的。

由于八数码的每一个方块在最优情况下才有可能直接平移，所以我们的估价函数可以设计成所有数与目标位置的曼哈顿距离之和，可以保证 $h(u)\le g(u)$。

代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <unordered_map>
using namespace std;
const int dx[] = {-1,0,1,0},dy[] = {0,1,0,-1};
const char op[] = "urdl";
typedef pair <int,string> PIS;
char ch;
string start,s;
int f (string state) {
    int ans = 0;
    for (int i = 0;i < 9;i++) {
        if (state[i] == 'x') continue;
        int t = state[i] - '1';
        ans += abs (i / 3 - t / 3) + abs (i % 3 - t % 3);
    }
    return ans;
}
string Astar () {
    string end = "12345678x";
    unordered_map <string,int> dist;
    unordered_map <string,pair <char,string>> prev;
    priority_queue <PIS,vector <PIS>,greater <PIS>> heap;
    dist[start] = 0;
    heap.push ({f (start),start});
    while (!heap.empty ()) {
        auto t = heap.top ();
        heap.pop ();
        string state = t.second;
        if (state == end) break;
        int x,y;
        for (int i = 0;i < 9;i++) {
            if (state[i] == 'x') {
                x = i / 3,y = i % 3;
                break;
            }
        }
        string source = state;
        for (int i = 0;i < 4;i++) {
            int a = x + dx[i],b = y + dy[i];
            if (a < 0 || a > 2 || b < 0 || b > 2) continue;
            swap (state[a*3+b],state[x*3+y]);
            if (!dist.count (state) || dist[state] > dist[source] + 1) {
                dist[state] = dist[source] + 1;
                prev[state] = {op[i],source};
                heap.push ({dist[state] + f(state),state});
            }
            state = source;
        }
    }
    string ans;
    while (end != start) {
        ans = prev[end].first + ans;
        end = prev[end].second;
    }
    return ans;
}
int main () {
    for (int i = 0;i < 9;i++) {
        cin >> ch;
        start += ch;
        if (ch != 'x') s += ch;
    }
    int cnt = 0;
    for (int i = 0;i < 8;i++) {
        for (int j = i;j < 8;j++) {
            if (s[i] > s[j]) cnt++;
        }
    }
    if (cnt & 1) puts ("unsolvable");
    else cout << Astar () << endl;
    return 0;
}