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给定一个长度为 $N$ 的数组，数组中的第 $i$ 个数字表示一个给定股票在第 $i$ 天的价格。

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:

• 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
• 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 $1$ 天)。

输入格式

第一行包含整数 $N$，表示数组长度。

第二行包含 $N$ 个不超过 $10000$ 的正整数，表示完整的数组。

输出格式

输出一个整数，表示最大利润。

数据范围

$1 \\le N \\le 10^5$

输入样例：

5
1 2 3 0 2

输出样例：

3

样例解释

对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]，第一笔交易可得利润 2-1 = 1，第二笔交易可得利润 2-0 = 2，共得利润 1+2 = 3。

思路

闫氏$\text{DP}$分析法：
状态表示：$f_{i,k}$，其中$k=0/1/2$

• 集合：在前$i$天中买卖股票并且当前状态是$k$，如果$k=0$表示当前未持股，如果$k=1$表示当前持股，如果$k=2$表示当前是冷冻期
• 属性：$\max$

状态计算：

• 如果第$i$天未持股，那么既可以第$i-1$天未持股，也可以第$i-1$天冷冻期，即$f_{i,0}=\max\lbrace f_{i-1,0},f_{i-1,2}\rbrace$
• 如果第$i$天持股，那么既可以第$i-1$天持股，也可以买入股票，即$f_{i,1}=\max\lbrace f_{i-1,1},f_{i-1,0}-a_i$
• 如果第$i$天为冷冻期，那么只能第$i-1$天卖出，即$f_{i,2}=f_{i-1,1}$
• 所以状态转移方程就是
  • $f_{i,0}=\max\lbrace f_{i-1,0},f_{i-1,2}\rbrace$
  • $f_{i,1}=\max\lbrace f_{i-1,1},f_{i-1,0}-a_i$
  • $f_{i,2}=f_{i-1,1}$

答案：

• 由于最后持股一定不是最优解，所以答案就是$\max\lbrace f_{i,0},f_{i,2}\rbrace$

来自一只野生彩色铅笔的状态机图片：

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n;
int a[N];
int f[N][3];
int main () {
    cin >> n;
    for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> a[i];
    memset (f,-0x3f,sizeof (f));
    f[0][0] = 0;
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        f[i][0] = max (f[i - 1][0],f[i - 1][2]);
        f[i][1] = max (f[i - 1][1],f[i - 1][0] - a[i]);
        f[i][2] = f[i - 1][1] + a[i];
    }
    cout << max (f[n][0],f[n][2]) << endl;
    return 0;
}