最小生成树

prim算法

//朴素版Prim算法，O(n2)

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 510, M = 100010, INF = 0x3f3f3f3f;//无穷

int n,m;
int g[N][N];//稠密图邻接矩阵存
int dist[N];//存连通块外到块内最短距离
bool st[N];//连通点在不在连通块内

int prim()
{
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);
    //memset() 函数将指定的值 c 复制到 str 所指向的内存区域的前n个字节中
    //这可以用于快速初始化大块内存为零或者特定值
    //无穷大设为0x3f3f3f3f，0x3f3f3f3f的每个字节都是0x3f！把一段内存全部置为无穷大，
    dist[1] = 0;
    int res = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        int t = -1;
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        {
            if(!st[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t]))
            t = j;
        }
        if(dist[t] == INF) return INF;
        st[t] = true;
        res += dist[t];

        for(int j = 1; j <= n; j++)
            dist[j] = min(dist[j],g[t][j]);
    }
    return res;
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    memset(g,0x3f,sizeof g);
    while(m--)
    {
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b],c);//存在自环和重边
    }
     int res = prim();
     if(res == INF) puts("impossible");
     else cout<<res<<endl;
     return 0;
}

kruskal算法

最短路径

Dijsktra算法

//朴素版dijkstra 适合稠密图
//时间复杂是 O(n2+m),𝑛表示点数，𝑚表示边数
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 510, M = 100010, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int g[N][N];//稠密图邻接矩阵存
int dist[N];//存储一号点到每个点的最短距离
bool st[N];//最短路径是否确定

int dijkstra()//求一号点到n号最短路径，不存在则返回-1
{
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        int t = -1;// 在还未确定最短路的点中，寻找距离最小的点
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        if(!st[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t]))
            t = j;
        st[t] = true;
        // 用t更新其他点的距离
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);
    }
    return dist[n];
}

int main()
{
    cin>>n>>m;
    memset(g, 0x3f, sizeof g);

    while(m--)
    {
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        g[a][b] = min(g[a][b],c);
    }
    int res = dijkstra();
    if(res == INF) puts("-1");
    else printf("%d\n", res);

    return 0;
}

堆优化版dijkstra ——求最短路径

//时间复杂度 O(mlogn) n表示点数，𝑚表示边数
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>//堆的头文件

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;//堆里存储距离和节点编号

const int N = 1e6 + 10;

int n, m;//节点数量和边数
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;//邻接表存储图,W[N]存权重
int dist[N];//存储距离
bool st[N];//存储状态

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

int dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);//距离初始化为无穷大
    dist[1] = 0;
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;//小根堆
    heap.push({0, 1});//插入距离和节点编号, first存储距离，second存储节点编号

    while (heap.size())
    {
        auto t = heap.top();//取距离源点最近的点
        heap.pop();

        int ver = t.second, distance = t.first;
        //ver:节点编号，distance:源点距离ver 的距离

        if (st[ver]) continue;//如果距离已经确定，则跳过该点
        st[ver] = true;

        for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])//更新ver所指向的节点距离
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[ver] + w[i])
            {
                dist[j] = dist[ver] + w[i];
                heap.push({dist[j], j});//距离变小，则入堆
            }
        }
    }

    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);

    memset(h, -1, sizeof h);
    while (m -- )
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(a, b, c);
    }

    cout << dijkstra() << endl;

    return 0;
}
//CR:Hasity

负权边——单源最短路径

bellman-ford算法O(nm)

include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int N = 510,M = 10010,INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m, k;       // n表示点数，m表示边数
int dist[N],last[N];        // dist[x]存储1到x的最短路距离

struct Edge     // 边，a表示出点，b表示入点，w表示边的权重
{
    int a, b, c;
}edges[M];

// 求1到n的最短路距离，如果无法从1走到n，则返回-1。
void bellman_ford()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;

    // 如果第n次迭代仍然会松弛三角不等式，就说明存在一条长度是n+1的最短路径，由抽屉原理，路径中至少存在两个相同的点，说明图中存在负权回路。
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        memcpy(last, dist, sizeof dist);//last记录本次迭代值

        for (int j = 0; j < m; j ++ )
        {
            Edge e = edges[j];
            dist[e.b] = min(dist[e.b],last[e.a]+e.c);
        }
    }
}

int main()
{
    cin>>n>>m>>k;

    for(int i = 0; i < m; i++)
    {
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        edges[i] = {a,b,c};
    }
    bellman_ford();

    if (dist[n] > INF / 2) puts("impossible");
    else cout<<dist[n]<<endl;

    return 0;
}

多源求最短路径

floyd算法

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 210, M = 2e+10, INF = 1e9;

int n, m, k, x, y, z;
int d[N][N];

void floyd() {
    for(int k = 1; k <= n; k++)
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            for(int j = 1; j <= n; j++)
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}

int main() {
    cin >> n >> m >> k;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            if(i == j) d[i][j] = 0;
            else d[i][j] = INF;
    while(m--) {
        cin >> x >> y >> z;
        d[x][y] = min(d[x][y], z);
        //注意保存最小的边
    }
    floyd();
    while(k--) {
        cin >> x >> y;
        if(d[x][y] > INF/2) puts("impossible");
        //由于有负权边存在所以约大过INF/2也很合理
        else cout << d[x][y] << endl;
    }
    return 0;
}
//cr:珺程