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我们要求的是一个排列，使得每个数都大于其左侧的所有数或小于其右侧的所有数。可以通过分析这个排列的性质来找到解法。

设这个排列为 ( a_1, a_2, \ldots, a_n )，我们的条件可以分为两种情形：

1. 对于每一个 ( a_i )（( 1 \leq i < n )），都有 ( a_i > a_j )（对于所有 ( j < i )）或者 ( a_i < a_j )（对于所有 ( j > i )）。

2. 因此，如果一个数 ( a_i ) 大于其左边的所有数 ( a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{i-1} )，那么它是一个局部最大值；如果一个数小于其右边的所有数 ( a_{i+1}, a_{i+2}, \ldots, a_{n} )，那么它是一个局部最小值。

结合以上两条，可以把整个排列分成两个部分来选择：

• 从左边的部分取出一个数，该数大于左边的所有数。
• 从右边的部分取出一个数，该数小于右边的所有数。

对于任意的 ( n ) 个不同的数字，它们的排列数是 ( n! )。

我们可以利用一种递推关系来计算满足条件的情况。记 ( f(n) ) 为满足条件的 ( n ) 个数的排列的个数。显然当 ( n = 1 ) 时，( f(1) = 1 )。

对于 ( n = 2 )，数字的排列 ( (x,y) ) 满足条件的有：

• ( x > y )
• ( x < y )

所以 ( f(2) = 2 )。

对于 ( n = 3 )，我们考虑三个数 ( (a_1, a_2, a_3) )：

• 如果 ( a_1 ) 是局部最大，则 ( a_1 > a_2, a_3 )；
• 如果 ( a_2 ) 是局部最大，则 ( a_2 > a_1) 和 ( a_2 > a_3 )，并且 ( a_3 ) 必须是局部最小，所以 ( a_2 < a_3 );
• 如果 ( a_3 ) 是局部最小，则 ( a_3 < a_1, a_2 )。

可以用递推公式：

[
$f(n) = (n-1) \cdot (f(n-1) + f(n-2))$
]

这个公式的直观解释是：对于当前的数组，选择一个数，在其左右两边递归处理。

因此最终的排列个数将是加总的结果。希望这个推导能帮助你理解这个问题。如果有更具体的 ( n ) 值或者例题需要帮助，可以进一步讨论！
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